21 bài tập Viết phương trình mặt phẳng (có lời giải)
21 câu hỏi
Cho hai mặt phẳng \((P),(Q)\) có phương trình tổng quát là
(P):3x-5y+7z+5=0(m) và (Q):x+y-2=0(m)
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((P),(Q)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \((P)\) trong số các điểm: \(A(1;3;1),B(1;2;3)\).
a) Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 5;7)\). \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n^\prime } = (1;1;0)\).
b) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của \((P)\), ta được:\(3.1 - 5.3 + 7.1 + 5 = 0.{\rm{ }}\)Vậy \(A\) thuộc \((P)\).
Thay toạ độ điểm \(B\) vào phương trình \((P)\), ta được:\(3.1 - 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \ne 0.\)Vậy \(B\) không thuộc \((P)\).
Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;1)\).
Vì \((P)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;1)\) nên phương trình của \((P)\) là
\(1(x - 1) + 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + z - 8 = 0.\)
Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(N(4;0;1)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)\).
\((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\vec a,\vec b] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).
Phương trình của \((P)\) là: \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0.\)
Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\).
\((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1),\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 1;3; - 3){\rm{. }}\)
Phương trình của \((P)\) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0.\)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm A, B, C.
\((P)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - a;b;0)\), \(\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)\), do đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (bc;ac\); \(ab)\). Suy ra \((P)\) có phương trình:
\(bc(x - a) + ac(y - 0) + ab(z - 0) = 0\)\({\rm{ hay }}bcx + acy + abz - abc = 0.{\rm{ }}\)
Nhận xét: Do a, b, c đều khác 0 nên có thể viết lại phương trình trên thành \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\). Phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 8\((\alpha ):x + 2y - z + 1 = 0\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\).
b) Vectơ \(\vec m = (2;4; - 2)\) có là vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) hay không?
c) Trong hai điểm \(A(1;3;2),B(1;1;4)\), điểm nào thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) ?
a) Mặt phẳng \((\alpha )\) nhận \(\vec n = (1;2; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Do \(\vec m = 2\vec n\) mà \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) nên \(\vec m\) cũng là vecơ pháp tuyến của \((\alpha )\).
c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm \(A(1;3;2),B(1;1;4)\), điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha )\).
Do \(1 + 2 \cdot 3 - 2 + 1 \ne 0\) và \(1 + 2 \cdot 1 - 4 + 1 = 0\) nên trong hai điểm A, B chỉ có toạ độ điểm \(B\) thoả mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha )\). Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha )\), điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha )\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(2x + 3y - z + 2 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\).
b) Trong hai điểm \(A(1;3;2)\) và \(B(4; - 1;7)\), điểm nào thuộc \((\alpha )\) ?
a) Một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec n = (2;3; - 1)\).
b) Thay lần lượt toạ độ của các điểm \(A\) và \(B\) vào vế trái của phương trình ( \(\alpha \) ), ta có:
- \(2.1 + 3.3 - 2 + 2 = 11 \ne 0\), nên toạ độ điểm \(A\) không thoả mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \(A\) không thuộc \((\alpha )\).
\( \cdot 2.4 + 3.( - 1) - 7 + 2 = 0\), nên toạ độ điểm \(B\) thoả mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy \(B\) thuộc \((\alpha )\).
Viết phương trình của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm \(A(2;0;0)\) và nhận \(\vec n = (2;1; - 1)\) làm vectơ pháp tuyến;
b) Đi qua điểm \(B(1;2;3)\) và song song với giá cùa mỗi vectơ \(\vec u = (1;2;3)\) và \(\vec v = ( - 2;0;1)\);
c) Đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;2;0)\) và \(C(0;0;4)\).
a) \(2x + y - z - 4 = 0\);
b) \(2x - 7y + 4z = 0\);
c) \(4x + 2y + z - 4 = 0\).
Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(1;2;7)\) và nhận \(\vec n = (3;2;1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}3x + 2y + z - 14 = 0.\)
Câu 5 Cho hai điểm \(M(2;1;0)\), \(N(0;3;0)\). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm \(I( - 3;1;0)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1; - 1),\vec v = ( - 1;3;2)\).
Xét vectơ \(\vec n = [\vec u,\vec v] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (5; - 3;7)\). Khi đó, \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là: \(5 \cdot (x + 3) + ( - 3) \cdot (y - 1) + 7 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 7z + 18 = 0.\)
Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm \(A(1;0;2),B(1;1;1)\) và \(C(0;1;2)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (0;1; - 1),\overrightarrow {AC} = ( - 1;1;0)\).
Xét vectơ \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right)\), tức là \(\vec n = (1;1;1)\).
Khi đó, \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).
Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là: \(1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0.\)
Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \((P)\) đi qua điểm \(I( - 2;3;0)\) và nhận \(\vec n = (4; - 1;5)\) làm vectơ pháp tuyến
b) \((P)\) đi qua ba điểm \(A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;1)\).
a) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(4 \cdot (x + 2) + ( - 1) \cdot (y - 3) + 5 \cdot (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 5z + 11 = 0\).
b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 6 = 0.\)
Cho tứ diện ABCD có các đỉnh \(A(4;0;2),B(0;5;1),C(4; - 1;3),D(3; - 1;5)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.
a) Mặt phẳng \((ABC)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (4;4;4)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(4(x - 4) + 4(y - 0) + 4(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0.\)
Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1),\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ] = (14;13;9)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABD)\)là: \(14(x - 4) + 13(y - 0) + 9(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 14x + 13y + 9z - 74 = 0.\)
b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; - 6;2)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ] = (16;14;10)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(16(x - 0) + 14(y - 5) + 10(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 8x + 7y + 5z - 40 = 0.\)
Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \((P)\) đi qua điểm \(I(2;1; - 4)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 4;5)\);
b) \((P)\) đi qua điểm \(I(5; - 2;1)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (3; - 1;4)\), \(\vec b = (0;2; - 1)\);
c) \((P)\) đi qua ba điểm \(A(0;3;7),B(2; - 5;4)\) và \(C(1; - 4; - 1)\).
a) Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là: \(3 \cdot (x - 2) - 4 \cdot (y - 1) + 5 \cdot (z + 4) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5z + 18 = 0.{\rm{ }}\)
b) Ta có:\([\vec a,\vec b] = ( - 7;3;6)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình của \((P)\) là: \(( - 7) \cdot (x - 5) + 3 \cdot (y + 2) + 6 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 7x + 3y + 6z + 35 = 0\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2; - 8; - 3),\overrightarrow {AC} = (1; - 7; - 8)\).
Khi đó, \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (43;13; - 6)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Vậy mặt phẳng \((P)\) có phương trình là: \({\rm{ 43}}{\rm{. }}(x - 0) + 13 \cdot (y - 3) - 6 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 43x + 13y - 6z + 3 = 0.{\rm{ }}\)
Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(5;0;0),B(0;7;0),C(0;0;9)\).
Phương trình mặt phẳng đó là: \(\frac{x}{5} + \frac{y}{7} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 63x + 45y + 35z - 315 = 0\).
Cho ba điểm \(A(3; - 4;2),B(1;2;3),C(0;1;5)\). Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng BC.
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = ( - 1; - 1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy phương trình \((P)\) là:
\(( - 1) \cdot (x - 3) - 1 \cdot (y + 4) + 2 \cdot (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y + 2z - 5 = 0\)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;3),B(4;3;5)\), \(C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;1; - 1)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 3;5;2){\rm{. }}\)
Mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\) đi qua \({A^\prime }(1;1;1)\) và nhận \(\vec n = ( - 3;5;2)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\( - 3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0.\)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(2;1; - 1),B(3;2;1),C(3;1;4)\).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)\) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Mặt phẳng (A B C) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (1;1;2),\overrightarrow {AC} = (1;0;5)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (5; - 3; - 1)\).
Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1; - 1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (5; - 3; - 1)\) nên có phương trình:
\(5(x - 2) - 3(y - 1) - 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0.\)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \({\rm{M}}(1;2; - 1)\) và vuông góc với trục OX .
Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng \(({\rm{P}})\).
Vì mặt phẳng \(({\rm{P}})\) vuông góc với trục Ox nên nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) đi qua điểm \({\rm{M}}(1;2; - 1)\) và nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(x - 1 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).
a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
a) Ta có \(\overrightarrow {AD} = (1;0; - 2),\overrightarrow {A{A^\prime }} = ( - 1;2; - 1),\overrightarrow {AB} = ( - 1;3;1)\)
Vi ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} - 2 = 0}\\{{z_C} - 4 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1}\\{{y_C} = 2}\\{{z_C} = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy C(1; 2; 2).
Vi ABB'A' là hình binh hành nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} - 2 = 2}\\{{z_{{C^\prime }}} - 4 = - 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^\prime }}} = - 1}\\{{y_{{B^\prime }}} = 4}\\{{z_{{C^\prime }}} = 3}\end{array}} \right.\). Vậy \({B^\prime }( - 1;4;3)\).
Vi ADD'A' là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} - 1 = 0}\\{{z_{{D^\prime }}} - 2 = - 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^\prime }}} = 1}\\{{y_{{D^\prime }}} = 1}\\{{z_{{D^\prime }}} = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \({D^\prime }(1;1;0)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {C{B^\prime }} = ( - 2;2;1),\overrightarrow {C{D^\prime }} = (0; - 1; - 2)\)
Vi mặt phẳng (CB' \(\left. {{D^\prime }} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} \) nên có một vectơ pháp tuyến là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {C{B^\prime }} ,\overrightarrow {C{D^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = ( - 3; - 4;2){\rm{. }}\)
Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm \({\rm{C}}(1;2;2)\) và nhận \(\vec n = ( - 3; - 4;2)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \( - 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{\rm{ }}\)
Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm \(t\), vật thể ở vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\). Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a) Xác định toạ độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).
b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).
c) Vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?
a) Thời điểm \({\rm{t}} = 0\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\).
Thời điểm \(t = \frac{\pi }{2}\), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_2}( - 1;1;0)\).
Thời điểm \({\rm{t}} = \pi \), vật ở vị trí \({{\rm{M}}_3}( - 1; - 1; - 1)\).
b) Có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)\) không cùng phương nên ba điểm \({{\rm{M}}_1},{{\rm{M}}_2},{{\rm{M}}_3}\) không thẳng hàng.
Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = ( - 2;0; - 1)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_3}} = ( - 2; - 2; - 2)\) là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = ( - 2; - 2;4)\)
Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\) đi qua \({{\rm{M}}_1}(1;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = ( - 2; - 2;4)\) có phương trình là: \( - 2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 1) = 0\) hay \(2x + \) \(2{\rm{y}} - 4{\rm{z}} = 0\).
c) Ta có 2(cost \( - \sin t) + 2\) (cost + sint \() - 4\) cost \( = 0\) nên vị trí \(M(\cos t - \sin t\); cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{{\rm{M}}_1}{{\rm{M}}_2}{{\rm{M}}_3}} \right)\).
Do đó vị trí \(M\) (cost - sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng \(2x + 2y - 4z = \) 0.
