20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Tọa độ của vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \). Tọa độ của điểm A là
(−1; 2; −3).
(2; −3; −1).
(−3; 2; −1).
(2; −1; −3).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) A(−1; 2; −3).
Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oy?
M (0; 5; 0).
N (4; 0; 0).
P (0; 0; 6).
Q (4; 5; 0).
Đáp án đúng: A
M(0; 5; 0) Oy.
Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oyz).
N (0; 4; −1).
P (−2; 0; 3).
M (3; 4; 0).
Q (2; 0; 0).
Đáp án đúng: A
N(0; 4; −1) (Oyz).
Trong không gian Oxyz, cho A(2; −1; 0) và B(1; 1; −3). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
(−1; 2; −3).
(1; −2; 3).
(−1; −2; 3).
(1; −2; 3).
Đáp án đúng: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 1 như hình vẽ. Tọa độ \(\overrightarrow {AC} \) là:
(2; 0; 0).
(1; 1; 0).
(0; 0; 4).
(0; 1; 4).
Đáp án đúng: B
Ta có A(0; 0; 0), C(1; 1; 0). Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có các điểm A(1; 0; 3), B(2; 3; −4), C(−3; 1; 2). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
(−4; −2; 9).
(4; 2; 9).
(−2; 4; −5).
(6; 2; −3).
Đáp án đúng: A
Gọi D(x; y; z). Ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( {x + 3;y - 1;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 3;7} \right)\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = - 1\\y - 1 = - 3\\z - 2 = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right.\).
Suy ra \(C\left( { - 4; - 2;9} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có điểm A trùng với gốc tọa độ O, điểm B nằm trên tia Ox, điểm D nằm trên tia Oy, điểm A' nằm trên tia Oz. Biết AB = 2; AD = 4; AA' = 3. Gọi tọa độ của C' là (a; b; c). Khi đó biểu thức a + c có giá trị là
−4.
9.
3.
6.
Đáp án đúng: C
Theo giả thiết có \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i ;\overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow j ;\overrightarrow {AA'} = 3\overrightarrow k \).
Áp dụng quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
Suy ra C'(2; 4; 3). Do đó a + b – c = 2 + 4 – 3 = 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết A(2; 4; 0), B(4; 0; 0), C(−1; 4; −7) và D'(6; 8; 10). Tọa độ điểm B' là
B'(8; 4; 10).
B'(6; 12; 0).
B'(10; 8; 6).
B'(13; 0; 17).
Đáp án đúng: D
Gọi D(x; y; z). Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - x - 1;4 - y; - z - 7} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 1 = 2\\4 - y = - 4\\ - z - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right.\) D(−3; 8; −7).
Gọi B'(x; y; z). Có \(\overrightarrow {BB'} = \left( {x - 4;y;z} \right),\overrightarrow {DD'} = \left( {9;0;17} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 9\\y = 0\\z = 17\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 0\\z = 17\end{array} \right.\) B'(13; 0; 17).
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(5; −1; 3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
(0; −1; 0).
(5; 0; 0).
(0; −1; 3).
(−1; 3; 0).
Đáp án đúng: C
Hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (Oyz) là điểm (0; −1; 3).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn \(\overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow k - 2\overrightarrow j \) và B(1; 2; −1). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
(1; 0; 3).
(0; 2; 4).
(0; −2; −4).
(−1; 0; −3).
Đáp án đúng: A
Ta có \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \Rightarrow A\left( {0;2; - 4} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \).
(a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là \(\overrightarrow a = \left( {2; - 3;4} \right)\).
(b) Nếu vectơ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \) thì điểm A có tọa độ là A(−2; 3; −4).
(c) Biết \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow b = \left( {3x - y;x - 4y;4} \right)\). Khi đó x + y = 2.
(d) Biết \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) và A(1; 2; 1) thì điểm B có tọa độ là B(3; −1; 3).
a) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;4} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \) A(2; −3; 4).
c) Vì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\x - 4y = - 3\\4 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\). Do đó x + y = 2.
d) Gọi B(x; y; z). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {x - 1;y - 2;z - 1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 2 = - 3\\z - 1 = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\\z = 5\end{array} \right.\) B(3; −1; 5).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O và các đỉnh B(2; 0; 0); C(2; 4; 0); D'(0; 4; 3).
(a) Tọa độ D(0; 4; 0).
(b) Tọa độ C'(2; 3; 4).
(c) Tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)\).
(d) Tọa độ của \(\overrightarrow {B'D} = \left( { - 2;4; - 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i \); \(\overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow j \); \(\overrightarrow {AA'} = 3\overrightarrow k \).
a) Tọa độ của D(0; 4; 0).
b) Tọa độ của C'(2; 4; 3).
c) Ta có A'(0; 0; 3) nên \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)\).
d) Tọa độ của B'(2; 0; 3) và D(0; 4; 0) nên \(\overrightarrow {B'D} = \left( { - 2;4; - 3} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(0; 1; −2), C(0; −2; 1), D(1; 0; −1). Khi đó:
(a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OC} = \left( {0; - 2;1} \right)\).
(b) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {DA} = - \overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \).
(c) Tọa độ điểm B là B(−1; −1; 0).
(d) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \).
a) Ta có \(\overrightarrow {OC} = \left( {0; - 2;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {DA} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \).
c) Gọi B(x; y; z). Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {x;y - 1;z + 2} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y - 1 = - 2\\z + 2 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\\z = 0\end{array} \right.\) B(−1; −1; 0).
d) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k \) và B(0; −1; 6). Khi đó:
(a) A(−2; 0; 3).
(b) Điểm A thuộc trục hoành.
(c) \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k \).
(d)\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;0} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow k \) A(−2; 0; 3).
b) Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxz).
c) \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow j + 6\overrightarrow k \).
d) \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 + 2; - 1 - 0;6 - 3} \right) = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; −3; 9) và A'(5; 0; 1). Khi đó:
(a) \(\overrightarrow {AA'} = \left( {4;0; - 1} \right)\).
(b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;2} \right)\).
(c)\(\overrightarrow {A'C'} = \left( {6; - 3;7} \right)\).
(d) B'(7; 2; 4).
a) \(\overrightarrow {AA'} = \left( {5 - 1;0;1 - 2} \right) = \left( {4;0; - 1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;2 - 0;5 - 2} \right) = \left( {2;2;3} \right)\).
c) Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 4\\y + 3 = 0\\z - 9 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 3\\z = 8\end{array} \right.\) C'(11; −3; 8).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( {6; - 3;7} \right)\).
d) Vì \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) B'(7; 2; 4).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8m, rộng 6m và cao 4m có 1 cây quạt trần ở vị trí tâm trần nhà. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị: mét). Nếu cây quạt trần đột nhiên rơi xuống sàn thì vị trí chạm sàn của cây quạt có tọa độ là (a; b; c). Tính a + b + c.
Căn phòng có chiều rộng 6m, chiều dài 8m, cao 4m. Cây quạt trần nằm ở vị trí tâm trần nhà. Do đó tọa độ của cây quạt trần là A(3; 4; 4).
Khi quạt rơi chạm sàn thì vị trí chạm sàn của cây quạt có tọa độ là A'(3; 4; 0).
Do đó a + b + c = 7.
Trả lời: 7.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.EFGH có các cạnh OA = 5; OC = 8; OE = 7 (xem hình vẽ). Tọa độ H(x; y; z). Tính giá trị biểu thức P = 50x + 75y + 1000z.
Ta có H (Oyz) và hình chiếu của H lên Oy trùng với C nên H(0; 8; 7).
Khi đó P = 50x + 75y + 1000z = 50.0 + 75.8 + 1000.7 = 7600.
Trả lời: 7600.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy km, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(100; 50; 5) đến điểm B(200; 100; 10) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là C(x; y; z). Khi đó tính x + y + z.
Gọi C(x; y; z) là tọa độ máy bay sau 10 phút tiếp theo.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {100;50;5} \right)\); \[\overrightarrow {BC} = \left( {x - 200;y - 100;z - 10} \right)\].
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ A → B bằng thời gian bay từ B → C nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 200 = 100\\y - 100 = 50\\z - 10 = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\\z = 15\end{array} \right.\) C(300; 150; 15).
Do đó x + y + z = 300 + 150 + 15 = 465.
Trả lời: 465.
Người ta kéo vật nặng bằng một lực \(\overrightarrow F \) có cường độ 100 N (như hình). \(\overrightarrow F = \left( {a\sqrt 2 ;b\sqrt 2 ;c\sqrt 3 } \right)\) là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow F \) trong hệ tọa độ đã cho trong hình vẽ. Tính a + b + c.
Đặt \(\overrightarrow F = \left( {x;y;z} \right)\), ta có:
x = 100.cos60°.cos45° = \(25\sqrt 2 \);
y = −100.cos60°.cos45° = \( - 25\sqrt 2 \);
z = 100.sin60° = \(50\sqrt 3 \).
Vậy \(\overrightarrow F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).
Suy ra a = 25; b = −25; c = 50. Do đó a + b + c = 50.
Trả lời: 50.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = 4; OB = 6; OC = 8. Thiết lệp hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi M(a; b; c) là trung điểm của AB. Tính a + b.
Ta có \(\overrightarrow {OA} = 4\overrightarrow i ;OB = 6\overrightarrow j \).
Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \).
Do đó M(2; 3; 0). Suy ra a = 2; b = 3; c = 0.
Vậy a + b = 5.
Trả lời: 5.
