20 CÂU HỎI
I. Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{\alpha - 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right){\rm{. }}} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^\alpha }}}{\alpha } + C{\rm{ }}} .\]
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\int {f\left( x \right)g\left( x \right)dx{\rm{ }}} = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx.} } \]
\[\int {f'\left( x \right)dx{\rm{ }}} = f\left( x \right) + C.\]
\[\int {\sin xdx{\rm{ }}} = - \cos x + C.\]
\[\int {\frac{1}{x}dx{\rm{ }}} = \ln \left| x \right| + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\] nếu
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln x}},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \ln x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\]
Trong các mệnh đề sau, chọn mệnh đề đúng.
\[\frac{1}{x} + C\]là họ nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\]trên \[\left( {0; + \infty } \right).\]
\[3{x^2}\]là một nguyên hàm của hàm số \[y = {x^3}\]trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right).\]
\[\frac{1}{5}{x^4}\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{4}{5}{x^3}.\]
Hàm số \[y = 2x\]là nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2}.\]
Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
\[\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C.} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right).} \]
\[\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right).} \]
\[\int {\left( {n + 1} \right){x^n}dx = {n^{n + 1}} + C{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).} \]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3\cos x - 1\] bằng
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - 1 + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x + x + C.} \]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
\[2x - 3 - \frac{1}{{{x^2}}} + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\[f\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x - 3\sin x.\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}} + C.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
\[{e^2} - e - 6.\]
\[{e^2} + e - 6.\]
\[{e^2} - e + 6.\]
\[{e^2} + e + 6.\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1.
2.
3.
4.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x + {e^x}\]. Tìm một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2024.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024.\]
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
\[F\left( 2 \right) = 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = - 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 1 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 7.\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\] là
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng
\[ - \frac{7}{{10}}.\]
\[\frac{{13}}{{10}}.\]
\[ - \frac{3}{{10}}.\]
\[\frac{3}{{10}}.\]
Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\] Tính tích \[P = abc\].
4.
−4.
5.
1.
Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \sin x{e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]
Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{2}{3}\ln 2 + \frac{5}{6}\ln 5.\]
\[0.\]
\[\frac{7}{3}\ln 2.\]
\[\frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{5}{2}.\]
\[\frac{5}{2}.\]