20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
15 câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
\(\overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {DA} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng: A
Ta có AD = B'C' và \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \).
Trong không gian, cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Hiệu hai vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) bằng
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ dưới). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BD'} \).
\(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {D'C'} \).
\(\overrightarrow {AC'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \).
Đáp án đúng: B
\(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} \) bằng vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {B'C} \).
\(\overrightarrow {BC'} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AC'} \).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {B'C} \).
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( { - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)\).
Đáp án đúng: A
Vì M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} } \right)\).
Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AN và CQ. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {JC} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {CJ} \).
\(\overrightarrow {QM} = \overrightarrow {IJ} \).
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {QJ} \).
Đáp án đúng: A
Do ABNM là hình bình hành, I là trung điểm của AN nên I là trung điểm của BM.
Vì ABCD.MNPQ là hình hộp nên MB = QC MI = JC và hai vectơ \(\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {JC} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {JC} \).
Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {SB} \) bằng
120°.
60°.
90°.
45°.
Đáp án đúng: C
Xét \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SB} .\left( {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right)\)\( = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right) = 90^\circ \).
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, SB. Khi đó số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {CB} \) bằng với số đo của góc nào sau đây?
\(\widehat {PMN}\).
\(\widehat {MNP}\).
\(\widehat {MPN}\).
\(\widehat {ASB}\).
Đáp án đúng: A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} = 2\overrightarrow {PM} \\\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {NM} \end{array} \right. \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {NM} } \right) = \left( {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \widehat {PMN}\)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a.
\(\frac{1}{2}{a^2}\).
a2.
−a2.
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}{a^2}\).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)\) bằng
1.
0.
−1.
−2.
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \)\( = - 4\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = - 4\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) - 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \widehat {ABC} + 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \widehat {BAD} - 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}\]
\[ = - 4.1.1.\cos 60^\circ + 3.1.1.\cos 60^\circ - 3.1.1.\cos 60^\circ \]
Trọng lực \(\overrightarrow P \)là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật, được tính theo công thức \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \), trong đó m là khối lượng của vật (đơn vị là kg), còn \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có hướng đi xuống và có độ lớn g = 9,8 m/s2. Xác định độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bưởi có khối lượng 2,5 kg.
Ta có \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 2,5.9,8 = 24,5\)(N).
Trả lời: 24,5.
Có ba lực cùng tác động vào một vật. Trong đó, có hai lực hợp với nhau một góc 60° và có độ lớn đều bằng \(4\sqrt 3 \)N. Lực còn lại có phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn bằng 5 N. Tính độ lớn lực tổng hợp đã tác dụng vào vật.
Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) là hai lực hợp với nhau một góc 60° và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 4\sqrt 3 \).
Gọi \(\overrightarrow {{F_3}} \) là lực có phương vuông góc với mặt phẳng tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) và \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5\).
Độ lớn của lực tổng hợp là
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} = \sqrt {{{\overrightarrow {{F_1}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_2}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_3}} }^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_2}} } \)
\( = \sqrt {2.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {5^2} + 2.4\sqrt 3 .4\sqrt 3 .\cos 60^\circ } = 13\).
Trả lời: 13.
Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \[\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\].
Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)\). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).
Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên
\(SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30\).
Vậy \(a = 30\).
Trả lời: 30.
Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \[4\]. Tính giá trị tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right)\].
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos 60^\circ = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24\].
Trả lời: 24.
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = 3; AD = 1, SA (ABCD) và SC tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {CA} \).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \); \(AC = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Tam giác SAC vuông tại A, có \(SC = \frac{{AC}}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 5 \).
Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\cos 135^\circ = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = - 10\).
Trả lời: −10.
