20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
15 câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
\(\overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {DA} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng: A
Ta có AD = B'C' và \(\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {CA} \).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ dưới). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BD'} \).
\(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {CD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {D'C'} \).
\(\overrightarrow {AC'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \).
Đáp án đúng: B
\(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {B'C} \).
\(\overrightarrow {BC'} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AC'} \).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {B'C} \).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( { - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)\).
Đáp án đúng: A
Vì M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AD} } \right)\).
Cho hình hộp ABCD.MNPQ. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AN và CQ. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {JC} \).
\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {CJ} \).
\(\overrightarrow {QM} = \overrightarrow {IJ} \).
\(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {QJ} \).
Đáp án đúng: A
Do ABNM là hình bình hành, I là trung điểm của AN nên I là trung điểm của BM.
Vì ABCD.MNPQ là hình hộp nên MB = QC MI = JC và hai vectơ \(\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {JC} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {JC} \).
120°.
60°.
90°.
45°.
Đáp án đúng: C
Xét \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SB} .\left( {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right)\)\( = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right) = 90^\circ \).
\(\widehat {PMN}\).
\(\widehat {MNP}\).
\(\widehat {MPN}\).
\(\widehat {ASB}\).
Đáp án đúng: A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} = 2\overrightarrow {PM} \\\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {NM} \end{array} \right. \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {NM} } \right) = \left( {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \widehat {PMN}\)
\(\frac{1}{2}{a^2}\).
a2.
−a2.
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}{a^2}\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 15 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
1.
0.
−1.
−2.
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \)\( = - 4\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = - 4\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) - 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \widehat {ABC} + 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \widehat {BAD} - 3\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}\]
\[ = - 4.1.1.\cos 60^\circ + 3.1.1.\cos 60^\circ - 3.1.1.\cos 60^\circ \]
Ta có \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 2,5.9,8 = 24,5\)(N).
Trả lời: 24,5.
Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) là hai lực hợp với nhau một góc 60° và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 4\sqrt 3 \).
Gọi \(\overrightarrow {{F_3}} \) là lực có phương vuông góc với mặt phẳng tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) và \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5\).
Độ lớn của lực tổng hợp là
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} = \sqrt {{{\overrightarrow {{F_1}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_2}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_3}} }^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_2}} } \)
\( = \sqrt {2.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {5^2} + 2.4\sqrt 3 .4\sqrt 3 .\cos 60^\circ } = 13\).
Trả lời: 13.
Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Ta có \[\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\].
Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)\). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).
Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên
\(SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30\).
Vậy \(a = 30\).
Trả lời: 30.
Ta có:
\[\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos 60^\circ = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24\].
Trả lời: 24.
Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \); \(AC = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Tam giác SAC vuông tại A, có \(SC = \frac{{AC}}{{\cos 45^\circ }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 5 \).
Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\cos 135^\circ = 2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = - 10\).
Trả lời: −10.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
