20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi
Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung.
Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
A
Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi
Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
B
Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi
Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
Hai mặt phẳng không có điểm chung.
D
Trong không gian hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai mặt phẳng không có điểm chung.
Phát biểu nào sau đây là sai?
Hình biểu diễn của một đường tròn có thể là một elip.
Hình biểu diễn của một hình thang (không phải là hình bình hành) có thể là một hình bình hành.
Hình biểu diễn của một tam giác đều có thể là một tam giác.
Hình biểu diễn của một hình vuông có thể là một hình bình hành.
B
Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của nó lên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó. Do đó hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Vậy phát biểu B là sai.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, đáy lớn AB, giao tuến của mặt (SAD) và (SBC) là
Sx với Sx // AB.
SK với K = AC Ç BD.
SK với K = AD Ç BC.
SK với K = AB Ç CD.
C
Kéo dài AD và BC. Gọi K là giao điểm của AD và BC.
Ta có S và K là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là SK.
Cho tứ diện ABCD, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
AD song song với mặt phẳng (MNK).
Hai đường thẳng MK và AC cắt nhau.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (ABD) đi qua trung điểm của AD.
Hai đường thẳng MN và BD cắt nhau.
C
Vì N, K lần lượt là trung điểm của BD. Suy ra NK // BD.
Xét hai mặt phẳng (MNK) và (ABD) có điểm chung M.
Lại có NK // BD nên (MNK) Ç (ABD) = MQ // BD (Q Î AD).
Mà M là trung điểm của AB suy ra Q là trung điểm của AD.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (ABD) đi qua trung điểm của AD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của DSAB, DSAD và E, F là trung điểm của AB, AD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
IJ // (SBD).
IJ // (SAD).
IJ // (SAB).
IJ // (SFE).
A
Xét DSFE có\(\frac{{SJ}}{{SF}} = \frac{{SI}}{{SE}} = \frac{2}{3}\) (do I, J là trọng tâm của DSAB, DSAD).
Suy ra IJ // EF (1).
Mà EF // BD Ì (SBD) (2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ // (SBD).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (AB'D') song song với mặt phẳng
(ABCD).
(BCC'B').
(BDC').
(BDA').
C
Do ABC'D' là hình bình hành nên AD' // BC'.
Do ADC'B' là hình bình hành nên AB' // DC'.
Xét hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) có AD' // BC' và AB' // DC' nên (AB'D') // (C'BD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng (MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
MN // CD.
MN và SC cắt nhau.
MN và CD chéo nhau.
MN và SD cắt nhau.
A
Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB, CD và MN là giao tuyến của chúng nên MN // CD.
Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Hình chiếu của DB'DM qua phép chiếu song song trên (A'B'C'D') theo phương AA' là.
DB'D'M'.
DC'D'M'.
DDMM'.
DB'A'M'.
A
Phép chiếu song song theo phương AA' biến B' thành chính nó, biến D thành D', biến M thành M'. Do đó biến DB'DM thành DB'D'M'.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành (tham khảo hình bên). Gọi M là trung điểm của cạnh BC, I là điểm thuộc cạnh SC sao cho SI = 2IC. Gọi P là giao điểm của AC và (SMD). Gọi K là giao điểm của AI và (SMD).
a) Ta có P cũng là giao điểm của hai đường thẳng AC và SD.
b) Ta có K cũng là giao điểm của hai đường thẳng AI và SP.
c) Đường thẳng IP song song với mặt phẳng (SAB).
d) Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (IMA) tại H. Gọi \(\frac{{MK}}{{MH}} = \frac{a}{b}\) trong đó a, b là hai số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó a + b = 7.
a) Trong mặt phẳng (ABCD), P = AC Ç MD mà MD Ì (SMD). Suy ra P = AC Ç (SMD).
b) Trong mặt phẳng (SAC), K = AI Ç SP mà SP Ì (SMD). Suy ra K = AI Ç (SMD).
c) Vì MC // AD nên \(\frac{{CP}}{{AP}} = \frac{{MC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{1}{3}\).
Vì SI = 2IC nên \(\frac{{IC}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \[\frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IP//SA\] mà SA Ì (SAB) nên IP // (SAB).
d) Xét DSPD, theo định lý Menelaus có \(\frac{{SK}}{{KP}}.\frac{{PM}}{{MD}}.\frac{{DH}}{{HS}} = 1\) (1).
Vì IP // SA nên \(\frac{{SK}}{{KP}} = \frac{{SA}}{{IP}} = 3\) (2).
Tương tự \(\frac{{PM}}{{MD}} = \frac{1}{3}\) (3). Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{{DH}}{{HS}} = 1\).
Xét DMHD, theo định lý Menelaus có \(\frac{{MP}}{{PD}}.\frac{{DS}}{{SH}}.\frac{{HK}}{{KM}} = 1\).
Ta có \(\frac{{MP}}{{PD}} = \frac{1}{2};\frac{{DS}}{{SH}} = 2\). Do đó \(\frac{{HK}}{{KM}} = 1\) Þ \(\frac{{MK}}{{MH}} = \frac{1}{2}\). Do đó a + b = 3.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB, SD.
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với AD.
b) Đường thẳng MN song song với mặt phẳng (SBD).
c) Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
d) Nếu gọi I là giao điểm của mặt phẳng (AMN) với đường thẳng SC thì \(SI = \frac{1}{2}IC\).
a) Có S Î (SAB) Ç (SCD) mà AB // CD nên (SAB) Ç (SCD) = Sx // AB // CD.
b) DSBD có M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB, SD nên MN // BD mà BD Ì (SBD) nên MN // (SBD).
c) Gọi O là giao điểm AC và BD.
Trong mặt phẳng (SBD) có K = MN Ç SO mà SO Ì (SAC) nên K = MN Ç (SAC).
Có MN // BD nên \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{MK}}{{BO}} = \frac{{KN}}{{OD}} = \frac{1}{2}\) mà OB = OD nên MK = KM.
Suy ra K là trung điểm của MN.
d) Trong mặt phẳng (SAC) có AK Ç SC = I mà AK Ì (AMN) nên I = SC Ç (AMN).
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OJ // AI mà O là trung điểm của AC nên J là trung điểm của IC.
Lại có KI // OJ mà K là trung điểm của SO nên I là trung điểm SJ.
Do đó \(\frac{{SI}}{{IC}} = \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Khi đó:
a) Đường thẳng G1G2 và AC có một điểm chung.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.
c) Đường thẳng G1G2 song song với mặt phẳng (ABCD).
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng G1G2 và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt là M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEF là hình bình hành.
a) Gọi Q là trung điểm của SD.
G1; G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD nên \(\frac{{Q{G_1}}}{{QA}} = \frac{{Q{G_2}}}{{QC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//AC\).
b) AB = (SAB) Ç (ABCD).
c) Có G1G2 // AC mà AC Ì (ABCD) nên G1G2 // (ABCD).
d) Qua G1 kẻ đường thẳng MF // AD (M Î SA, F Î SD).
Qua G2 kẻ EF // CD (E Î SC, F Î SD).
Qua E kẻ EN // BC (N Î SB).
Do đó MNEF là mặt phẳng chứa đường thẳng G1G2 và song song với mặt phẳng (ABCD).
Vì MN // EF (// AB // CD) và MF // NE (// AD // BC).
Do đó MNEF là hình bình hành.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm A'B', AB và I là tâm của hình bình hành BCC'B'.
a) Điển N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACN.
c) Giao tuyến của mặt phẳng (MIN) và mặt phẳng (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.
d) Đường thẳng MI cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm K. Khi đó NK = AC.
a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.
c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I mà MN // BB', MN Ì (MNI), BB' Ì (BCC'B') nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua I và song song BB'.
d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.
Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).
Có NJ = JK = MH suy ra NK = 2MH = AC.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD), các điểm M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, SC. Gọi O = AC Ç BD.
a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD) là điểm nằm trên đường thẳng SD.
c) Giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) là điểm nằm trên đường thẳng SO.
d) Ba điểm I, J, B thẳng hàng.
a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Trong mặt phẳng (ABCD) có O = AC Ç BD.
Trong (SAC), gọi I = SO Ç AN.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = AN \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy điểm I là điểm nằm trên đường thẳng SO.
c) Trong (ABCD), gọi P = CM Ç BD.
Trong (SCM), gọi J = MN Ç SP.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J = MN \cap \left( {SBD} \right)\).
Vậy J là điểm nằm trên đường thẳng SP.
d) Dễ thấy B Î (ABN) Ç (SBD) (1).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AN,AN \subset \left( {ABN} \right)\\I \in SO,SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (2).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}J \in MN,MN \subset \left( {ABN} \right)\\J \in SP,SP \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {SBD} \right)\) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra B, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SBD) nên ba điểm này thẳng hàng.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(AP = \frac{1}{3}AB.\) Gọi Q là giao điểm của SC và (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trong mặt phẳng (ABC) gọi D là giao điểm của PN và AC.
Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q là giao điểm của DM và SC.
Ta có Q = DM Ç SC mà DM Ì (MNP) Þ Q = SC Ç (MNP).
Gọi I là trung điểm của AC.
Xét DDIN có AP // IN nên \(\frac{{DA}}{{DI}} = \frac{{AP}}{{IN}} = \frac{{\frac{1}{3}AB}}{{\frac{1}{2}AB}} = \frac{2}{3}\).
Xét DDQC với MI // QC ta có \(\frac{{MI}}{{QC}} = \frac{{DI}}{{DC}} = \frac{3}{4}\) Þ \(MI = \frac{3}{4}QC\) \( \Rightarrow \frac{1}{2}SC = \frac{3}{4}QC\)
\( \Leftrightarrow \frac{{QC}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{1}{3} \approx 0,3\).
Trả lời: 0,3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SO. Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\).
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC Ç BD.
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I = AC Ç MN.
Trong mặt phẳng (SAC) gọi K = PI Ç SC mà PI Ì (PMN) Þ K = SC Ç (PMN).
Dễ dàng chứng minh được I là trung điểm của AO.
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OH // IK Þ \(\frac{{CO}}{{CI}} = \frac{{CH}}{{CK}} = \frac{2}{3}\).
Xét DSOH, PK // OH mà P là trung điểm SO nên K là trung điểm của SH.
Suy ra \(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Một phép chiếu song song theo phương MO lên mặt phẳng (ABCD) biến điểm S thành điểm N. Tính \(\frac{{CN}}{{CA}}\).
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ SN song song OM với N thuộc AC.
Khi đó N Î (ABCD) nên N là hình chiếu song song của S lên (ABCD) theo phương OM.
Xét DSAN ta có OM // SN Þ \(\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).
\( \Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD. Gọi Q là giao điểm của SA với (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SA}}\).
Trong (ABCD), gọi E = MN Ç AC.
Trong (SAC) vẽ EQ // SC với Q Î SA.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}QE//PN\left( {//SE} \right)\\PN \subset \left( {MNP} \right)\\E \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)Þ Q Î (MNP).
Þ Q = SA Ç (MNP).
Ta có MN là đường trung bình của DBCD nên MN // BD hay ME // BO.
Suy ra E là trung điểm của OC.
Khi đó \(\frac{{CE}}{{CO}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
Xét DSAC, ta có QE // SC nên \(\frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho \(SM = \frac{1}{2}SC\). Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD. Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SB}} + \frac{{SF}}{{SD}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \cap SO = I\\AM \subset \left( P \right)\\SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right)\).
Mà SD // (P), SD Ì (SBD) suy ra (P) Ç (SBD) = d // BD với I Î d.
Gọi E = d Ç SB, F = d Ç SD. Khi đó E, F chính là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD.
Xét DSAC có O là trung điểm của AC, M là trung điểm của SC nên I là trọng tâm của tam giác SAC. Suy ra \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Lại có EF // BD nên \(\frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\frac{{SE}}{{SB}} + \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,3\).
Trả lời: 1,3.
