20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 4. Hai mặt phẳng song song (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
+ Trong không gian, hai mặt phẳng có \(3\) vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song với nhau. Vì vậy, \(2\) mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau \( \Rightarrow \)A là mệnh đề sai.
+ Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau (hình vẽ) \( \Rightarrow \) B là mệnh đề sai.
+Ta có:\[a\parallel \left( P \right),a\parallel \left( Q \right)\] nhưng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.
Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận (α) // (β)
\[\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)\] và \(\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\;(\left( \gamma \right)\) là mặt phẳng nào đó\[).\]
\(\left( \alpha \right)\parallel a\) và \(\left( \alpha \right)\parallel b\) với \(a,b\) là hai đường thẳng phân biệt thuộc \(\left( \beta \right).\)
\(\left( \alpha \right)\parallel a\)và \(\left( \alpha \right)\parallel b\) với \(a,b\) là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với \(\left( \beta \right).\)
\(\left( \alpha \right)\parallel a\)và \(\left( \alpha \right)\parallel b\) với \(a,b\) là hai đường thẳng cắt nhau thuộc\(\left( \beta \right).\)
D
\(\left( \alpha \right)\parallel a\) và \(\left( \alpha \right)\parallel b\) với \(a,b\) là hai đường thẳng cắt nhau thuộc\(\left( \beta \right)\) thì (α) // (β).
Hai đường thẳng \(a\)và \(b\) nằm trong \(mp\left( \alpha \right).\) Hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) nằm trong \(mp\left( \beta \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(a\parallel a'\) và \(b\parallel b'\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Nếu \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\) thì \(a\parallel a'\) và \(b\parallel b'.\)
Nếu \(a\parallel b\) và \(a'\parallel b'\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Nếu \(a\) cắt \(b\) và \(a\parallel a',\;b\parallel b'\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).\)
D
Nếu \(a\) cắt \(b\) và \(a\parallel a',\;b\parallel b'\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).\)
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O.\] Gọi \[M,\,\,N,\,\,P\] theo thứ tự là trung điểm của \[SA,\,\,SD\] và \[AB.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {NOM} \right)\) cắt \[\left( {OPM} \right).\]
\[\left( {MON} \right)\]//\[\left( {SBC} \right).\]
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP.\)
\(\left( {NMP} \right)\)//\[\left( {SBD} \right).\]
B
Ta có \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\] suy ra \[MN\]//\[AD.\] \[\,\left( 1 \right)\]
Và \[OP\] là đường trung bình của tam giác \[BAD\] suy ra \[OP\]//\[AD.\] \[\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra \[MN\]//\[OP\]//\[AD\] \[ \Rightarrow \,\,M,\,\,N,\,\,O,\,\,P\] đồng phẳng.
Lại có \[MP\]//\[SB,\,\,\,OP\]//\[BC\] suy ra \[\left( {MNOP} \right)\]//\[\left( {SBC} \right)\] hay \[\left( {MON} \right)\]//\[\left( {SBC} \right).\]
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD, ACD, ABC và M, N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BD, CD, BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(DJK) // (ABC).
(IJK) // (BCD).
(KMN) // (ABC).
(IJK) // (AMD).
B
Ta có \(\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên KJ // PN Þ KJ // (BCD) và IJ // MN Þ IJ // (BCD).
Mà KJ, IJ Ì (KIJ) và KJ Ç IJ = J nên (KIJ) // (BCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và AB. Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (SAD).
(BCI).
(BIJ).
(CIJ).
(SJC).
C
Vì I, J lần lượt là trung điểm của SB và AB nên IJ // SA.
Do J là trung điểm AB và AB = 2CD nên AJ = CD.
Mà AJ // CD nên AJCD là hình bình hành.
Do đó CJ // AD.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IJ//SA\\JC//AD\\IJ,JC \subset \left( {CIJ} \right)\\SA,AD \subset \left( {SAD} \right)\\CJ \cap IJ = J\end{array} \right. \Rightarrow \left( {CIJ} \right)//\left( {SAD} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
C
Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là đa giác đều.
Cho hình hộp \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\] Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(ABCD\) là hình bình hành.
Các đường thẳng \[{A_1}C,\,\,A{C_1},\,\,D{B_1},\,\,{D_1}B\] đồng quy.
\(\left( {AD{D_1}{A_1}} \right)\)//\[\left( {BC{C_1}{B_1}} \right).\]
\(A{D_1}CB\) là hình chữ nhật.
D
Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng:
Hình hộp có đáy \[ABCD\] là hình bình hành.
Các đường thẳng \[{A_1}C,\,\,A{C_1},\,\,D{B_1},\,\,{D_1}B\] cắt nhau tại tâm của \[A{A_1}{C_1}C,\,\,\,BD{D_1}{B_1}.\]
Hai mặt bên \(\left( {AD{D_1}{A_1}} \right),\,\,\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) đối diện và song song với nhau.
\[A{D_1}\] và \[CB\] là hai đường thẳng chéo nhau suy ra \[A{D_1}CB\] không phải là hình chữ nhật.
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có các cạnh bên \[AA',\,\,BB',\,\,CC',\,\,DD'.\] Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\left( {AA'B'B} \right)\)//\[\left( {DD'C'C} \right).\]
\(\left( {BA'D'} \right)\)//\[\left( {ADC'} \right).\]
\(A'B'CD\) là hình bình hành.
\(BB'D'D\) là một tứ giác.
B
Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên \[\left( {AA'B'B} \right)\] và \[\left( {DD'C'C} \right)\] đối diện, song song với nhau.
Hình hộp có hai đáy \[\left( {ABCD} \right),\,\,\,\left( {A'B'C'D'} \right)\] là hình bình hành \[ \Rightarrow \,\,A'B' = CD\] và \[A'B'\]//\[CD\] suy ra \[A'B'CD\] là hình hình hành.
\[BD\]//\[B'D'\] suy ra \[B,\,\,B',\,\,D',\,\,D\] đồng phẳng \[ \Rightarrow \,\,BB'D'D\] là tứ giác.
Mặt phẳng \[\left( {BA'D'} \right)\] chứa đường thẳng \[CD'\] mà \[CD'\] cắt \[C'D\] suy ra \[\left( {BA'D'} \right)\] không song song với mặt phẳng \[\left( {ADC'} \right).\]
Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\left( {ABC} \right)\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
\(A{A_1}\)//\[\left( {BC{C_1}} \right).\]
\(AB\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
\(A{A_1}{B_1}B\) là hình chữ nhật.
D
Vì mặt bên \[A{A_1}{B_1}B\] là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\] là hình lăng trụ đứng.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Khi đó:
a) Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Khi đó NQ = a.
b) (MNO) // (SCD).
c) (MNP) // (ABCD).
d) Diện tích của tứ giác MNPQ bằng a2.
a) Trong mặt phẳng (SAC), I = MP Ç SO.
Trong mặt phẳng (SBD), NI Ç SD = Q mà NI Ì (MNP) Þ Q = SD Ç (MNP).
Xét DSAC, có MP // AC suy ra I là trung điểm SO.
Xét DSBD có IN // BO Þ NQ // BD mà N là trung điểm SB nên Q là trung điểm SD.
Do đó NQ là đường trung bình của DSBD \( \Rightarrow NQ = \frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).
b) DSAB, có MN // AB mà AB // CD Þ MN // (SCD) (1).
DSBD có NO // SD Þ NO // (SCD) (2).
Mà MN, NO Ì (MNO) và MN Ç NO = N (3).
Từ (1), (2), (3) Þ (MNO) // (SCD).
c) MN // AB Þ MN // (ABCD)
MP // BC Þ MP // (ABCD) mà MN Ç MP = M nên (MNP) // (ABCD).
d)Xét tứ giác MNPQ có I là trung điểm của MP, NQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Lại có MN = NP (vì cùng bằng \(\frac{{AB}}{2}\)) nên MNPQ là hình thoi.
Có \(MP = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \). Do đó \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}.MP.NQ = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\).
Đáp án: a) Sai;b) Đúng; c) Đúng;d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI. Khi đó:
a) HI // (ABCD).
b) (HIK) // (ABCD).
c) Tứ giác ABMS là hình bình hành.
d) (SMN) cắt (HIK).
a) H, I lần lượt là trung điểm của SA, SB nên HI là đường trung bình của tam giác SAB.
Suy ra HI // AB mà AB Ì (ABCD) nên HI // (ABCD) (1).
b) I, K lần lượt là trung điểm của SB, SC nên IK là đường trung bình của tam giác SBC.
Suy ra IK // BC mà BC Ì (ABCD) nên IK // (ABCD) (2).
Từ (1) và (2), suy ra (HIK) // (ABCD).
c) \(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AI,AI \subset (SAB)}\\{M \in DK,DK \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow M \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\\ \Rightarrow SM = (SAB) \cap (SCD).\end{array}\)
\({\rm{ Khi d\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \cap (SCD) = SM}\\{AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \Rightarrow SM//AB//CD \Rightarrow SM//HI}\\{AB//CD}\end{array}} \right..\)
Mà H là trung điểm của SA nên I là trung điểm của AM.
Xét tứ giác ABMS có I là trung điểm của AM, I là trung điểm của SB nên tứ giác ABMS là hình bình hành.
d) \(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N \in DH,DH \subset (SAD)}\\{N \in CI,CI \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow N \in (SAD) \cap (SBC)} \right.\\ \Rightarrow SN = (SAD) \cap (SBC).\end{array}\)
Khi đó, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAD) \cap (SBC) = SN}\\{AD \subset (SAD),BC \subset (SBC) \Rightarrow SN//AD//BC \Rightarrow SN//KI}\\{AD//BC}\end{array}} \right.\).
Vì SM // HI mà HI Ì (HIK) nên SM // (HIK) (3).
Vì SN // KI mà KI Ì (HIK) nên SN // (HIK) (4).
Từ (3) và (4) suy ra (SMN) // (HIK).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng;d) Sai.
Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\]
a) \(\left( {ABC} \right)\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
b) \(A{A_1}\)//\[\left( {BC{C_1}} \right).\]
c) \(AB\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
d) \(A{A_1}{B_1}B\) là hình chữ nhật.
a) \(\left( {ABC} \right)\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
b) AA1 // CC1 mà CC1 Ì (BCC1) nên \(A{A_1}\)//\[\left( {BC{C_1}} \right).\]
c) AB // A1B1 mà A1B1 Ì ( A1B1C1) nên \(AB\)//\[\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right).\]
d) Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng;d) Sai.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác B'AC và DA'C'.
a) A'C' // (ABCD).
b) AB' // (CDD').
c) (B'AC) // (DA'C').
d) (NA'B') cắt (MDC).
a) Ta có A'C' // AC mà AC Ì (ABCD) Þ A'C' // (ABCD).
b) Có AB' // DC' mà DC' Ì (CDD'C') Þ AB' // (CDD').
c) Có AC // A'C' mà A'C' Ì (DA'C') Þ AC // (DA'C') (1).
B'C // A'D mà A'D Ì (DA'C') Þ B'C // (DA'C') (2).
Mà AC, B'C Ì (ACB') và AC Ç B'C = C (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra (ACB') // (DA'C').
d) Dễ dàng chứng minh DMB'N là hình bình hành nên DM // B'N Þ DM // (A'B'N).
Tương tự A'B' // CD Þ CD // (A'B'N).
Mà DM, CD Ì (MCD) và DM Ç CD = D nên (MCD) // (A'B'N).
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng;d) Sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Khi đó:
a) MN // (SBC).
b) (OMN) // (SBC).
c) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng CD. Khi đó E là giao điểm của CD với mặt phẳng (OMN).
d) Mặt phẳng (OMN) cắt các mặt của hình chóp S.ABCD tạo thành một hình bình hành.
a) DSAD có MN // AD mà AD // BC nên MN // BC Þ MN // (SBC).
b) DSBD có ON // SB Þ ON // (SBC) mà ON Ç MN = N nên (OMN) // (SBC).
c) Ta có O Î (OMN) Ç (ABCD) mà MN // AD nên (OMN) Ç (ABCD) = Ox // AD.
Giả sử Ox Ç CD = E, Ox Ç AB = F.
Mà O là trung điểm của BD nên E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB.
d) Mặt phẳng (OMN) Ç (ABCD) = EF; (OMN) Ç (SCD) = NE;
(OMN) Ç (SAD) = MN; (OMN) Ç (SAB) = MF.
Có MN // AD // EF Þ MN // EF.
Do đó Mặt phẳng (OMN) cắt các mặt của hình chóp S.ABCD tạo thành một hình thang MNEF.
Đáp án: a) Đúng;b) Đúng; c) Đúng;d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có hai đáy là các hình bình hành. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC, CC' (tham khảo hình vẽ). Xét các khẳng định sau:
a) Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh A'D'.
b) Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại trung điểm của DD'.
c) Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC'D').
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
Ta có P Î (MNP) Ç (DCC'D') mà MN // CD nên (MNP) Ç (DCC'D') = PQ // CD (Q Î DD').
Mà P là trung điểm của CC' nên Q là trung điểm của DD'.
Trong mặt phẳng ADD'A có MQ cắt A'D' mà MQ Î (MNP). Do đó (MNQ) cắt cạnh A'D'.
Có MN // AB Þ MN // (ABC'D'); NP // BC' Þ NP // (ABC'D'). Do đó (MNP) // (ABC'D').
Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.
Trả lời: 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD // BC, AD = xBC. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm nằm trên AD, SD thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3}\). Để (CMN) // (SAB) thì khi đó giá trị x bằng bao nhiêu?
Ta có \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3}\) Þ MN // SA.
Để (CMN) // (SAB) thì MC // AB Û ABCM là hình bình hành Û AM = BC
Û \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 3\).
Trả lời: 3.
Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua G và song song với mặt phẳng (SBC), M là giao điểm của (α) với SA. Tính \(\frac{{SM}}{{SA}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi I là trung điểm BC, khi đó SI = (SBC) Ç (SAI).
Gọi d = (α) Ç (SAI) với d là đường thẳng qua G do G = (α) Ç (SAI).
Mặt khác (α) // (SBC) nên d là đường thẳng qua G và song song SI.
Trong (SAI) điểm M cần tìm là giao điểm của d và SA.
Khi đó \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{IG}}{{IA}} = \frac{1}{3} \approx 0,33.\)
Trả lời: 0,33.
Một kệ để đồ gỗ có mâm tầng dưới (ABCD) và mâm tầng trên (EFGH) song song với nhau. Bác thợ mộc đo được AE = 100 cm, CG = 120 cm và muốn đóng thêm mâm tầng giữa (IJKL) song song với hai mâm tầng trên, tầng dưới và EI = 42 cm. Tính độ dài đoạn thẳng KG.
Áp dụng định lý Thales trong không gian, ta có \(\frac{{KG}}{{EI}} = \frac{{GC}}{{EA}}\)\( \Leftrightarrow KG = \frac{{42.120}}{{100}} = 50,4\).
Trả lời: 50,4.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SC. Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{SC}}\) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SC, SB.
Vì (P) // (ABC) nên theo định lí Thales ta có \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3} \approx 0,67\).
Trả lời: 0,67.
