20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hai mặt phẳng (α); (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?Giao tuyến (α); (β) trùng với d.
Giao tuyến của (α); (β) song song hoặc trùng với d.
Giao tuyến của (α); (β) cắt d.
Giao tuyến của (α); (β) song song với d.
D
Do d không nằm trên mặt phẳng (α) và (β) nên giao tuyến không thể trùng với d.
Theo tính chất ta có giao tuyến song song với d.
Nếu b // (α) thì b // a.
Nếu b // a thì b // (α).
Nếu b cắt (α) và (β) chứa b thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng cắt cả a và b.
Nếu b cắt (α) thì b cắt a.
B
Nếu b // a và a Ì (α) thì b // (α).
3.
1.
2.
4.
B
Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau thì chỉ có một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d Ï (α). Khẳng định nào sau đây là sai?
Nếu d // (α) thì trong (α) tồn tại đường thẳng ∆ sao cho D // d.
Nếu d // (α) và b Ì (α) thì b // d.
Nếu d Ç (α) = {A} và d' Ì (α) thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Nếu d // c, c Î (α) thì d // (α).
B
Khẳng định B sai vì b và d có thể chéo nhau.
(SBC).
(ABCD).
(SAC).
(SAB).
A
ABCD là hình bình nên AD // BC mà BC Ì (SBC) nên AD // (SBC).
MN // (ABCD).
MN // (SAB).
MN // (SCD).
MN // (SBC).
A
Xét tam giác SAC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
Suy ra MN // AC mà AC Ì (ABCD) Þ MN // (ABCD).
\(MN\) nằm trên \[\left( {ABCD} \right).\]
\(MN\)cắt \[\,\left( {ABCD} \right).\]
\[MN\]song song \[\,\left( {ABCD} \right).\]
\(MN\) và \[\,\left( {ABCD} \right)\] chéo nhau.
C
Theo định lí Talet, ta có \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}}\] suy ra \[MN\] song song với \[AB\,.\] Mà \[AB\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] suy ra \[MN\]//\[\left( {ABCD} \right)\,.\]
GP //\[\left( {BCD} \right).\]
\[GQ\]//\[\left( {BCD} \right).\]
MQ // \[\left( {BCD} \right).\]
\[Q\] thuộc mặt phẳng \[\left( {CDP} \right).\]
B
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BD\,.\]
Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABD\]\[ \Rightarrow \,\,\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.\]
Điểm \[Q \in AB\] sao cho \[AQ = 2\,QB\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.\] Suy ra //\[BD\,.\] Mặt khác \[BD\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] suy ra \[GQ\] // \[\left( {BCD} \right)\,.\]
\(O{O_1}\)//\(\left( {BEC} \right).\)
\[O{O_1}\]//\[\left( {AFD} \right).\]
\[O{O_1}\]//\[\left( {EFM} \right).\]
\[M{O_1}\] cắt \[\left( {BEC} \right).\]
D
Xét tam giác \[ACE\] có \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là trung điểm của \[AC,\,\,AE\,.\]
Suy ra \[O{O_1}\] là đường trung bình trong tam giác \[ACE\] \[ \Rightarrow \,\,O{O_1}\]// \[EC\,.\]
Tương tự, \[O{O_1}\] là đường trung bình của tam giác \[BFD\] nên \[O{O_1}\] // \[FD\,.\]
Vậy \[O{O_1}\] // \[\left( {BEC} \right)\], \[O{O_1}\] // \[\left( {AFD} \right)\] và \[O{O_1}\] // \[\left( {EFC} \right)\]. Chú ý rằng: \[\left( {EFC} \right) = \left( {EFM} \right)\,.\]
\(P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S.\)
\(M,\,\,P,\,\,R,\,\,S.\)
\(M,\,\,R,\,\,S,\,\,N.\)
\(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q.\)
B
Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
\[PS\] // AB // \[QR\] suy ra \[P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\] đồng phẳng.
Tương tự, ta có được \[PM\] // BD // \[NQ\] suy ra \[P,\,\,M,\,\,N,\,\,Q\] đồng phẳng.
Và MR // BC // NS suy ra M, R, S, N đồng phẳng.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn SA, AB, CD như hình vẽ
a) SB // (MNP).
b) AD // (MNP).
c) Giao tuyến của (SAD) và (MNP) là đường thẳng song song với AD.
d) Giao tuyến của (SAB) và (MNP) là đường thẳng song song với MN.
a) MN là đường trung bình của DSAB nên MN // SB mà MN Ì (MNP) nên SB // (MNP).
b) Có AD // NP mà NP Ì (MNP) nên AD // (MNP).
c) Vì AD // (MNP), AD Ì (SAD), M Î (MNP) Ç (SAD) nên giao tuyến của (SAD) Ç (MNP) là đường thẳng qua M và song song với AD.
d) (SAB) Ç (MNP) = MN.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2,M\) là một điểm thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(AD\), cắt các mặt của hình chóp theo hình là một tứ giác. Khi đó:
a) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((SAB)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\).
b) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((SAD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(SD\).
c) \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\).
d) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(AD\), cắt các mặt của hình chóp theo hình là một tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{16}}{9}\).
\(\begin{array}{l}{\rm{V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (SAB) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//AB,AB \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow (SAB) \cap (\alpha ) = MN{\rm{ v\^o \`u i }}MN//AB,N \in SB;} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (SAD) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//AD,AD \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow (SAD) \cap (\alpha ) = MQ{\rm{ v\^o \`u i }}MQ//AD,Q \in SD.} \right.\end{array}\)
Vì \(BC//AD//MQ\) và \(BC\not \subset (\alpha ),MQ \subset (\alpha )\) nên \(BC//(\alpha )\).
Khi đó, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N \in (SBC) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//BC,BC \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow (SBC) \cap (\alpha ) = NP} \right.\) (với \(NP//BC,P \in SC\)).
Nối các đỉnh \(M,N,P,Q\) ta được một tứ giác.
Ta có: \(MN//AB,MQ//AD,NP//BC,PQ//CD\) nên theo định lí Thalès, ta có:
\(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{MQ}}{{AD}} = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)
Suy ra \(MN = NP = PQ = MQ = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}\) (đáy hình của chóp là hình vuông cạnh 2).
Dễ thấy \(MNPQ\) là một hình vuông có cạnh bằng \(\frac{4}{3}\) nên có diện tích bằng \(\frac{{16}}{9}\) (đơn vị diện tích).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai;c) Sai;d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm O. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\) và \(E\) là điểm trên cạnh \(DC\) sao cho \(DC = 3DE,I\) là trung điểm \(AD\). Khi đó:
a) \(OI\) song song với mặt phẳng \((SAB)\).
b) \(OI\) song song với mặt phẳng \((SCD)\).
c) \(IE\) song song với \(AC\).
d) \(GE//(SBC)\).
a) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{OI//AB}\end{array} \Rightarrow OI//\left( {SAB} \right)} \right.\)
b) Tương tự, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{OI//CD}\end{array} \Rightarrow OI//\left( {SCD} \right)} \right.\).
c) Vì \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3} = \frac{{DE}}{{DC}}\) nên \(IE\) không song song với \(AC\).
d) Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC,G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\).
Khi đó \(\frac{{SG'}}{{SK}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{{G'G}}{{KI}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(G'G//IK//CE\) và \(G'G = \frac{2}{3}KI = \frac{2}{3}CD = CE\).
Do đó tứ giác \(G'GEC\) là hình bình hành, suy ra \[CG'//GE \Rightarrow GE//(SBC)\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Sai;d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\), \(P\) là trung điểm cạnh \(SA\). Khi đó:
a) \(MN//(SBC)\).
b) \(MN//(SAD)\).
c) \(SB\)cắt với mặt phẳng \((MNP)\).
d) \(SC\)cắt với mặt phẳng \((MNP)\).
a) Vì \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\) nên \(MN//BC\), mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow MN//(SBC)\).
b) \(MN//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow MN//(SAD)\).
c) Ta có \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(SB//MP\), mà \(MP \subset (MNP)\) nên \(SB//(MNP)\).
d) \(OP\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(SC//OP\), mà \(OP \subset (MNP)\) nên \(SC//(MNP)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng;c) Sai;d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AD = 3AM\). Gọi \(G,N\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(SAB,ABC\). Khi đó:
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AC,BD\).
b) \[\frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{3}\].
c) \(MN\) song song với mặt phẳng \((SCD)\).
d)\(NG\) cắt với mặt phẳng \((SAC)\).
\({\rm{ a) Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAB) \cap (SCD)}\\{AB//CD}\\{AB \subset (SAB),CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow (SAB) \cap (SCD) = Sx} \right.\)
(với \(Sx\) qua \(S\) và \(Sx//AB//CD\)).
b) Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).
Vì \(N\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(BN = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD \Rightarrow \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
c) Ta có: \(AD = 3AM \Rightarrow \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác \(ADB\), ta có: \(\frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{2}{3}\) nên \(MN//AB \Rightarrow MN//CD\),
mà \(CD \subset (SCD) \Rightarrow MN//(SCD)\).
d) Gọi \(P\) là trung điểm \(AB\). Tam giác \(SPC\) có:
\(\frac{{PG}}{{PS}} = \frac{{PN}}{{PC}} = \frac{1}{3}\) (tính chất trọng tâm)
\( \Rightarrow NG//SC,SC \subset (SAC) \Rightarrow NG//(SAC)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai;c) Đúng;d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD. Khi đó đoạn thẳng G1G2 song song với bao nhiêu mặt của tứ diện ABCD?
Gọi M là trung điểm của CD.
Xét tam giác ABM có \(\frac{{M{G_2}}}{{AM}} = \frac{{M{G_1}}}{{BM}} = \frac{1}{3}\) Þ G1G2 // AB.
Mà AB Ì (ABC), AB Ì (ABD) nên G1G2 // (ABC); G1G2 // (ABD).
Trả lời: 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD và M là điểm thuộc cạnh BC sao cho GM song song với mặt phẳng (SCD). Khi đó tỉ số diện tích của hai tam giác MAB và MAC bằng bao nhiêu?
Gọi E là trung điểm của SD, F là giao điểm của AM và CD trong mặt phẳng (ABCD).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GM \subset \left( {AEF} \right)\\GM//\left( {SCD} \right)\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = EF\end{array} \right.\) Þ GM // EF Þ \(\frac{{FM}}{{FA}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).
Theo hệ quả Talet, ta có \(\frac{{MC}}{{AD}} = \frac{{FM}}{{FA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MC = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}BC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = 2\).
Do DMAB và DMAC có chung đường cao kẻ từ A.
Do đó \(\frac{{{S_{\Delta MAB}}}}{{{S_{\Delta MAC}}}} = \frac{{MB}}{{MC}} = 2\).
Trả lời: 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm cạnh BC, (α) là mặt phẳng qua A, M và song song với SD. Mặt phẳng (α) cắt SB tại N, tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{SB}}\) (làm tròn đến hàng phần trăm).
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ AM cắt BD tại I.
Có I Î (α) Ç (SBD), (α) // SB mà SB Ì (SBD) nên (α) Ç (SBD) = Ix // SD.
Trong DSBD, Ix Ç SB = N Þ N = SB Ç (α).
Xét DABC, có I là trọng tâm. Do đó \[\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}\].
Xét DSBD có IN // SD nên \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{DI}}{{DB}} = \frac{2}{3} \approx 0,67\).
Trả lời: 0,67.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho \(DM = \frac{1}{3}SD\). Mặt phẳng (α) chứa AM và song song với BD cắt cạnh SC tại K. Tính \(\frac{{KC}}{{SC}}.\)
Có M Î (α) Ç (SBD), (α) // BD mà BD Ì (SBD) Þ (α) Ç (SBD) = Mx // BD.
Giả sử Mx cắt SB tại N.
Khi đó (α) ≡ (AMN).
Gọi O = AC Ç BD; I = SO Ç MN.
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ AI Ç SC = K. Suy ra K = SC Ç (α).
Xét DSBD có mà O là trung điểm của BD nên I là trọng tâm DSBD.
Xét DSAC có I là trọng tâm nên AK là trung tuyến Þ K là trung điểm của SC. Do đó .
Trả lời: 0,5.\(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}\)
Trong không gian, cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
+) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên ta nói a nằm trong (P).
+) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có một điểm chung duy nhất A, ta nói a cắt (P) tại A.
+) Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung nào ta nói a song song với (P).
Trả lời: 3.
