20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của của một hình không gian (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

a) Gọi O, O' lần lượt là tâm của hình bình hành ABB'A' và ACC'A'.

Gọi I là giao điểm của AM' và A'M.

Khi đó ta có O Î AB' Ì (AB'C'); O Î A'B Ì (A'BC) Þ O Î (AB'C') Ç (A'BC).

O' Î AC' Ì (AB'C'); O' Î A'C Ì (A'BC) Þ O' Î (AB'C') Ç (A'BC).

I Î AM' Ì (AB'C'); I Î A'M Ì (A'BC) Þ I Î (AB'C') Ç (A'BC).

Do đó 3 điểm O, I, O' cùng thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C') và (A'BC).

b) Vì MM' là đường trung bình của hình bình hành BCC'B' nên MM' // BB' và MM' = BB'.

Lại có AA' // BB' và AA' = BB' nên AA' // MM' và AA' = MM'.

Do đó AMM'A' là hình bình hành. Suy ra AM // A'M'.

c) Hình lăng trụ có hai mặt đáy song song với nhau.

d) Điểm A' là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương MA'.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai

a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.

b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.

c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I.

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( {MNI} \right)\\BB' \subset \left( {BCC'B'} \right)\\MN//BB'\end{array} \right.\). Suy ra giao tuyến của mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.

d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.

Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).

Có NJ = JK = MH Þ NK = 2MH = AC.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Do \(\left\{ \begin{array}{l}C \in \left( {ABCD} \right)\\C'C//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của C' lên (ABCD) là C.

b) Do \(\left\{ \begin{array}{l}B' \in \left( {A'B'C'D'} \right)\\B'B//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của B lên (A'B'C'D') là B'.

c) Do O Î (ABCD) nên hình chiếu của O lên (ABCD) cũng là O.

d) Do AA' Ç (A'B'C'D') = A' nên hình chiếu của A lên (A'B'C'D') là A'.

Do \(\left\{ \begin{array}{l}C' \in \left( {A'B'C'D'} \right)\\C'C//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của C lên mặt phẳng (A'B'C'D') là C'.

Suy ra hình chiếu cảu AC lên mặt phẳng (A'B'C'D') là A'C'.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Hình chiếu song song của điểm P theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.

b) DSAB có MM' là đường trung bình nên MM' // SA;

DSAD có NN' là đường trung bình nên NN' // SA.

Do đó Hình chiếu của đường thẳng MN theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng M'N'.

c) Trong DSAC kẻ QQ' // SA vì Q là trung điểm của SC nên Q' là trung điểm của AC.

Do đó hình chiếu song song của điểm Q theo phương SA lên mặt phẳng (ABC) là điểm Q' (với Q' là trung điểm của AC).

d) Hình chiếu song song của tam giác MNP theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là tam giác M'N'A.

Ta có \[{S_{M'N'A}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}.4.5 = 5\] cm².

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ MK // SO (K Î AO).

Suy ra K là hình chiếu song song của M trên (ABCD) theo phương SO.

Xét DSAO có MK // SO mà M là trung điểm của SA nên K là trung điểm của AO.

b) Vì K là trung điểm của AO nên \(\frac{{KO}}{{AO}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).

c) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;

K là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;

Trong mặt phẳng (SBO), kẻ NI // SO nên I là hình chiếu của N trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO.

Suy ra hình chiếu của DSMN trên mặt phẳng (ABCD) là DOKI theo phương SO.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ^ BD nên OK ^ OI. Do đó DOKI vuông tại O.

d) Vì \(\frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow KO = \frac{{AC}}{4} = 1\)

Tương tự \(OI = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.6 = \frac{3}{2}\).

Do đó \[{S_{\Delta OKI}} = \frac{1}{2}.OK.OI = \frac{1}{2}.1.\frac{3}{2} = \frac{3}{4}\].

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Ảnh của MPQ qua phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu MA là tam giác AOI với O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.

Ta có \({S_{AOI}} = \frac{1}{4}{S_{ACD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{{{4^2}}}{8} = 2\).

Trả lời: 2.

Trong (SAC) kẻ SN song song OM với N thuộc AC.

Khi đó N Î (ABCD) nên N là hình chiếu song song của S lên (ABCD) theo phương OM.

Xét DSAN ta có OM // SN \( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Trả lời: 0,25.

Trong mặt phẳng (ABB'A'), kẻ MM' // AA' (M' Î A'B').

Trong mặt phẳng (ACC'A'), kẻ NN' // AA' (N' Î A'C').

Do đó hình chiếu song song của đoạn thẳng MN theo phương AA' lên mặt phẳng (A'B'C') là đoạn thẳng M'N'.

Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{A'M'}}{{A'B'}} = \frac{{A'N'}}{{A'C'}} = \frac{1}{3}\) Þ M'N' // B'C' .

Do đó \[\frac{{M'N'}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\].

Trả lời: 0,33.

Hình chiếu song song của A trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD là D.

Kẻ ON // AD (N Î DC).

Vì O là trung điểm AC Þ N là trung điểm của DC.

Do đó N là hình chiếu song song của O trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD.

Khi đó DN là hình chiếu song song của AO trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD.

Khi đó MN ≡ DN.

Do đó \(\frac{{DN}}{{AO}} = \frac{{\frac{{DC}}{2}}}{{\frac{{DC\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Trả lời: 2.

Gọi E = BM Ç CD; F = CM Ç BD; G = DM Ç BC.

Trong mặt phẳng (ABE), kẻ MB' // AB (B' Î AE Ì (ACD)). Suy ra B' là hình chiếu của M trên (ACD) theo phương chiếu AB.

Trong mặt phẳng (ACF), kẻ MC' // AC (C' Î AF Ì (ABD)). Suy ra C' là hình chiếu của M trên (ABD) theo phương chiếu AC.

Trong mặt phẳng (ADG), kẻ MD' // AD (D' Î AG Ì (ABC)). Suy ra D' là hình chiếu của M trên (ABC) theo phương chiếu AD.

Trong DABE có \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{BE}}\).

Tương tự: \(\frac{{MC'}}{{AC}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); \(\frac{{MD'}}{{AD}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).

Có \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le {\left( {\frac{{\frac{{MB'}}{{AB}} + \frac{{MC'}}{{AC}} + \frac{{MD'}}{{AD}}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}}}}{3}} \right)^3}\).

Ta thấy \(\frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} = \frac{{BD.d\left( {M,BD} \right)}}{{BD.d\left( {C,BD} \right)}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); tương tự \(\frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{ME}}{{BE}};\frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).

Suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}} = \frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}}\)\( = \frac{{{S_{\Delta MCD}} + {S_{\Delta MBD}} + {S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta BCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = 1\).

Do đó \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le \frac{1}{{27}}\).

Suy ra a = 1; b = 27. Do đó a + b = 28.

Trả lời: 28.