20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của của một hình không gian (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu của tam giác A'D'C' theo phương B'B lên mặt phẳng ABC là hình nào?
ADC.
ADB.
BCD.
ABC.
Chọn A
Do A'A // B'B nên hình chiếu của A' theo phương B'B là A.
D'D // B'B nên hình chiếu của D' theo phương B'B là D.
C'C // B'B nên hình chiếu của C' theo phương B'B là C.
Vậy hình chiếu của DA'D'C' theo phương B'B là tam giác ADC.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Chọn B
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\], qua phép chiếu song song đường thẳng \[CC'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến \[M\] thành \[M'\]. Trong đó \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Chọn mệnh đề đúng?
\[M'\] là trung điểm của \[A'B'\].
\[M'\] là trung điểm của \[B'C'\].
\[M'\] là trung điểm của \[A'C'\].
Cả ba đáp án trên đều sai.
Chọn B
Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\], gọi \[I\], \[I'\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[A'B'\]. Qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến \[I\] thành ?
\[A'\].
\[B'\].
\[C'\].
\[I'\].
Ta có \[\left. \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right\} \Rightarrow AIB'I'\] là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến điểm \[I\] thành điểm \[B'\].
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh SC, N là trung điểm của cạnh AC. Khi đó đoạn thẳng NC là hình chiếu của đoạn thẳng MC lên mặt phẳng (ABC) theo phương chiếu
SA.
SC.
SB.
AB.
Chọn A
Vì M, N lần lượt là trung điểm của SC, AC nên MN là đường trung bình của DSAC.
Suy ra MN // SA.
Do đó đoạn thẳng NC là hình chiếu của đoạn thẳng MC lên mặt phẳng (ABC) theo phương chiếu SA.
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Hình vuông.
Hình bình hành.
Hình thang.
Hình thoi.
Chọn C
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Chọn A
Hình vẽ nào sau đây không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác S.ABCD?
.
.
.
.
Chọn D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây?
S.
Trung điểm của BC.
B.
C.
Chọn C
Ta có AB Ç (SBC) = {A} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm B.
Trong không gian, hình nào không phải là hình biểu diễn của hình chóp tam giác?
.
.
.
.
Chọn B
Đáp án B sai vì hình vẽ tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau, nên không là hình biểu diễn của hình chóp tam giác gồm 4 cạnh có điểm chung tại đỉnh.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Khi đó:
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C') và (A'BC) đi qua giao điểm của hai đường thẳng AM' và A'M.
b) AM // A'M'.
c) Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.
d) Điểm A' là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CB'.
a) Gọi O, O' lần lượt là tâm của hình bình hành ABB'A' và ACC'A'.
Gọi I là giao điểm của AM' và A'M.
Khi đó ta có O Î AB' Ì (AB'C'); O Î A'B Ì (A'BC) Þ O Î (AB'C') Ç (A'BC).
O' Î AC' Ì (AB'C'); O' Î A'C Ì (A'BC) Þ O' Î (AB'C') Ç (A'BC).
I Î AM' Ì (AB'C'); I Î A'M Ì (A'BC) Þ I Î (AB'C') Ç (A'BC).
Do đó 3 điểm O, I, O' cùng thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C') và (A'BC).
b) Vì MM' là đường trung bình của hình bình hành BCC'B' nên MM' // BB' và MM' = BB'.
Lại có AA' // BB' và AA' = BB' nên AA' // MM' và AA' = MM'.
Do đó AMM'A' là hình bình hành. Suy ra AM // A'M'.
c) Hình lăng trụ có hai mặt đáy song song với nhau.
d) Điểm A' là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương MA'.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B', AB và I là tâm của hình bình hành BCC'B'.
a) Điểm N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACN.
c) Giao tuyến của mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.
d) Đường thẳng MI cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm K. Khi đó NK = AC.
a) Đường thẳng MN song song với CC' và cắt mặt phẳng (ABC) tại N nên N là hình chiếu song song của điểm M lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC'.
b) Hình chiếu song song của tam giác A'CI lên mặt phẳng (ABC) theo phương CC' là tam giác ACJ với J là trung điểm của BC.
c) Mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') có điểm chung là I.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left( {MNI} \right)\\BB' \subset \left( {BCC'B'} \right)\\MN//BB'\end{array} \right.\). Suy ra giao tuyến của mặt phẳng (MNI) và (BCC'B') là đường thẳng qua I và song song với BB'.
d) Gọi J, H lần lượt là trung điểm của BC và B'C'.
Gọi K = MI Ç NJ, suy ra K chính là giao điểm của MI và (ABC).
Có NJ = JK = MH Þ NK = 2MH = AC.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét phép chiếu song song theo phương chiếu AA'.
a) Hình chiếu của C' lên mặt phẳng (ABCD) là C.
b) Hình chiếu của B lên mặt phẳng (A'B'C'D') là A'.
c) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABCD) là O'.
d) Hình chiếu của AC lên mặt phẳng (A'B'C'D') là A'C'.
a) Do \(\left\{ \begin{array}{l}C \in \left( {ABCD} \right)\\C'C//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của C' lên (ABCD) là C.
b) Do \(\left\{ \begin{array}{l}B' \in \left( {A'B'C'D'} \right)\\B'B//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của B lên (A'B'C'D') là B'.
c) Do O Î (ABCD) nên hình chiếu của O lên (ABCD) cũng là O.
d) Do AA' Ç (A'B'C'D') = A' nên hình chiếu của A lên (A'B'C'D') là A'.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}C' \in \left( {A'B'C'D'} \right)\\C'C//A'A\end{array} \right.\) nên hình chiếu của C lên mặt phẳng (A'B'C'D') là C'.
Suy ra hình chiếu cảu AC lên mặt phẳng (A'B'C'D') là A'C'.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 4 cm, AD = 5 cm. Gọi M, N, P, M', N' lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD, SA, AB, AD.
a) Hình chiếu song song của điểm P theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là điểm B.
b) Hình chiếu của đường thẳng MN theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng M'N'.
c) Gọi Q là trung điểm của cạnh SC. Khi đó hình chiếu song song của điểm Q theo phương SA lên mặt phẳng (ABC) là điểm Q' (với Q' là trung điểm của BC).
d) Hình chiếu song song của tam giác MNP theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là một tam giác có diện tích là 5 cm2.
a) Hình chiếu song song của điểm P theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.
b) DSAB có MM' là đường trung bình nên MM' // SA;
DSAD có NN' là đường trung bình nên NN' // SA.
Do đó Hình chiếu của đường thẳng MN theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng M'N'.
c) Trong DSAC kẻ QQ' // SA vì Q là trung điểm của SC nên Q' là trung điểm của AC.
Do đó hình chiếu song song của điểm Q theo phương SA lên mặt phẳng (ABC) là điểm Q' (với Q' là trung điểm của AC).
d) Hình chiếu song song của tam giác MNP theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là tam giác M'N'A.
Ta có \[{S_{M'N'A}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}.4.5 = 5\] cm2.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có AC = 4 và BD = 6. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó:
a) Hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO là trung điểm K của AO.
b) \(\frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
c) Hình chiếu song song của tam giác SMN lên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO là tam giác cân.
d) Diện tích hình chiếu song song của tam giác SMN theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD) bằng \(\frac{3}{4}\).
a) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ MK // SO (K Î AO).
Suy ra K là hình chiếu song song của M trên (ABCD) theo phương SO.
Xét DSAO có MK // SO mà M là trung điểm của SA nên K là trung điểm của AO.
b) Vì K là trung điểm của AO nên \(\frac{{KO}}{{AO}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).
c) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;
K là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;
Trong mặt phẳng (SBO), kẻ NI // SO nên I là hình chiếu của N trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO.
Suy ra hình chiếu của DSMN trên mặt phẳng (ABCD) là DOKI theo phương SO.
Vì ABCD là hình thoi nên AC ^ BD nên OK ^ OI. Do đó DOKI vuông tại O.
d) Vì \(\frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow KO = \frac{{AC}}{4} = 1\)
Tương tự \(OI = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.6 = \frac{3}{2}\).
Do đó \[{S_{\Delta OKI}} = \frac{1}{2}.OK.OI = \frac{1}{2}.1.\frac{3}{2} = \frac{3}{4}\].
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4 tâm O. Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SC, SD và (H) là ảnh của MPQ qua phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu MA. Tính diện tích của hình (H).
Ảnh của MPQ qua phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu MA là tam giác AOI với O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD.
Ta có \({S_{AOI}} = \frac{1}{4}{S_{ACD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{{{4^2}}}{8} = 2\).
Trả lời: 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Một phép chiếu song song theo phương MO lên mặt phẳng (ABCD) biến điểm S thành điểm N. Tính \(\frac{{CN}}{{CA}}\).
Trong (SAC) kẻ SN song song OM với N thuộc AC.
Khi đó N Î (ABCD) nên N là hình chiếu song song của S lên (ABCD) theo phương OM.
Xét DSAN ta có OM // SN \( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AO}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{CA}} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AC sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\). Hình chiếu song song của đoạn thẳng MN theo phương AA' lên mặt phẳng (A'B'C') là đoạn thẳng M'N'. Tính tỉ số \(\frac{{M'N'}}{{B'C'}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trong mặt phẳng (ABB'A'), kẻ MM' // AA' (M' Î A'B').
Trong mặt phẳng (ACC'A'), kẻ NN' // AA' (N' Î A'C').
Do đó hình chiếu song song của đoạn thẳng MN theo phương AA' lên mặt phẳng (A'B'C') là đoạn thẳng M'N'.
Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{A'M'}}{{A'B'}} = \frac{{A'N'}}{{A'C'}} = \frac{1}{3}\)Þ M'N' // B'C' .
Do đó \[\frac{{M'N'}}{{B'C'}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\].
Trả lời: 0,33.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O. Hình chiếu song song của đoạn thẳng AO theo phương AD lên mặt phẳng (SCD) là đoạn thẳng MN. Tỉ số \(\frac{{MN}}{{OA}} = \frac{{\sqrt a }}{a},a \in \mathbb{N}\). Tìm a.
Hình chiếu song song của A trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD là D.
Kẻ ON // AD (N Î DC).
Vì O là trung điểm AC Þ N là trung điểm của DC.
Do đó N là hình chiếu song song của O trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD.
Khi đó DN là hình chiếu song song của AO trên mặt phẳng (SCD) theo phương chiếu AD.
Khi đó MN ≡ DN.
Do đó \(\frac{{DN}}{{AO}} = \frac{{\frac{{DC}}{2}}}{{\frac{{DC\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Trả lời: 2.
Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Gọi B', C', D' lần lượt là hình chiếu song song của M theo các phương AB, AC, AD lên các mặt (ACD), (ABD), (ABC). Giá trị lớn nhất của \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}}\) là \(\frac{a}{b}\) với a, b nguyên và (a, b) = 1. Tính giá trị của a + b.
Gọi E = BM Ç CD; F = CM Ç BD; G = DM Ç BC.
Trong mặt phẳng (ABE), kẻ MB' // AB (B' Î AE Ì (ACD)). Suy ra B' là hình chiếu của M trên (ACD) theo phương chiếu AB.
Trong mặt phẳng (ACF), kẻ MC' // AC (C' Î AF Ì (ABD)). Suy ra C' là hình chiếu của M trên (ABD) theo phương chiếu AC.
Trong mặt phẳng (ADG), kẻ MD' // AD (D' Î AG Ì (ABC)). Suy ra D' là hình chiếu của M trên (ABC) theo phương chiếu AD.
Trong DABE có \(\frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{{ME}}{{BE}}\).
Tương tự: \(\frac{{MC'}}{{AC}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); \(\frac{{MD'}}{{AD}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).
Có \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le {\left( {\frac{{\frac{{MB'}}{{AB}} + \frac{{MC'}}{{AC}} + \frac{{MD'}}{{AD}}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}}}}{3}} \right)^3}\).
Ta thấy \(\frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} = \frac{{BD.d\left( {M,BD} \right)}}{{BD.d\left( {C,BD} \right)}} = \frac{{MF}}{{CF}}\); tương tự \(\frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{ME}}{{BE}};\frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}} = \frac{{MG}}{{DG}}\).
Suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} + \frac{{MF}}{{CF}} + \frac{{MG}}{{DG}} = \frac{{{S_{\Delta MCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBD}}}}{{{S_{\Delta CBD}}}} + \frac{{{S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta DBC}}}}\)\( = \frac{{{S_{\Delta MCD}} + {S_{\Delta MBD}} + {S_{\Delta MBC}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta BCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = 1\).
Do đó \(\frac{{MB'}}{{AB}}.\frac{{MC'}}{{AC}}.\frac{{MD'}}{{AD}} \le \frac{1}{{27}}\).
Suy ra a = 1; b = 27. Do đó a + b = 28.
Trả lời: 28.
