Trong mặt phẳng (ABC), kẻ AH ^ BC.

Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ AH.

Do đó d(SA, BC) = AH \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (do ABC là tam giác đều cạnh a).

Ta có IJ là đường trung bình của hình thang ABCD.

Suy ra IJ // AD Þ IJ // (SAD).

Do đó d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)).

Ta có IA ^ AD (do ABCD là hình thang vuông), SA ^ IA (do SA ^ (ABCD)) nên IA ^ (SAD).

Do đó d(I, (SAD)) = IA = \(\frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Ta có (ABC) // (A'B'C') nên d((ABC), (A'B'C')) = d(A', (ABC)).

Gọi H là hình chiếu của A' trên AB.

Vì (A'ABB') ^ (ABC), (A'ABB') Ç (ABC) = AB, A'H Ì (A'ABB') và A'H ^ AB nên A'H ^ (ABC).

Xét DA'AH vuông tại H có \[A'H = A'A\sin \widehat {A'AH} = 2a\sin 60^\circ = a\sqrt 3 \].

Suy ra d((ABC), (A'B'C')) = d(A', (ABC)) = A'H = \(a\sqrt 3 \).

a) Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD.

b) Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ DO mà DO ^ AC (do ABCD là hình vuông) nên DO ^ (SAC).

Do đó d(D, (SAC)) = DO.

c) Vì SA ^ CD và CD ^ AD nên CD ^ (SAD).

Suy ra (CD, (SAD)) = 90°.

d) Ta có BC ^ CD.

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Do đó d(SB, CD) = BC.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB) Þ BC ^ AH.

b) Vì BC ^ AH mà AH ^ SB nên AH ^ (SBC).

Do đó d(A, (SBC)) = AH.

Xét DSAB vuông tại A, AH là đường cao, ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD mà BD ^ AC nên BD ^ (SAC).

Kẻ AI ^ SO mà AI ^ BD (do BD ^ (SAC)) Þ AI ^ (SBD).

Do đó d(A, (SBD)) = AI.

Do ABCD là hình vuông nên \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét DSAO vuông tại A, AI là đường cao có:

\(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

d) Ta có AH ^ (SBC) Þ AH ^ SC.

Tương tự ta chứng minh được AK ^ (SCD) Þ AK ^ SC.

Suy ra SC ^ (AHK).

Gọi F = SC Ç (AHK) thì SC ^ AF.

Khi đó d(C, (AHK)) = CF.

Ta có \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 5 \).

Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AF nên CF.CS = AC² \( \Rightarrow CF = \frac{{A{C^2}}}{{CS}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy d(C, (AHK)) = \(CF = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) Tam giác SAB đều nên SH ^ AB mà (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD).

Ta có AH Ç (SBD) = B \( \Rightarrow \frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AB}}{{HB}} = 2\).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Kẻ HI ^ BD mà SH ^ BD (do SH ^ (ABCD)) Þ BD ^ (SHI).

Kẻ HK ^ SI mà BD ^ HK (do BD ^ (SHI)) nên HK ^ (SBD).

Do đó d(H, (SBD)) = HK.

Ta có HO là đường trung bình của D ABC Þ HO // BC và \(HO = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lại có BC ^ AB nên HO ^ AB.

Vì SAB là tam giác đều cạnh a nên \(HB = \frac{a}{2};SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DOHB vuông tại H, ta có \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét DSHI vuông tại H có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{20}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

Suy ra d(A, (SBD)) \( = 2.\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

b) Gọi M là trung điểm của CD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên HM ^ CD mà SH ^ HM (do SH ^ (ABCD)).

Suy ra d(SH, CD) = HM = AD = \(a\sqrt 3 \).

c) Vì BC // AD nên BC // (SAD).

Suy ra d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = 2d(H, (SAD)).

Có SH ^ AD và AD ^ AH nên AD ^ (SHA).

Kẻ HN ^ SA mà HN ^ AD (do AD ^ (SHA)) Þ HN ^ (SAD).

Do đó d(H, (SAD)) = HN.

Xét DSHA vuông tại H, HN là đường cao có:

\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy d(B, (SAD)) = \(2.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) Có AB // CD Þ CD // (SAB).

Do đó d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)).

Có CB ^ AB mà CB ^ SH (do SH ^ (ABCD)) Þ CB ^ (SAB).

Do đó d(C, (SAB)) = CB = \(a\sqrt 3 \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Vì SA ^ (ABCD) nên d(S, (ABCD)) = SA = 2a.

b) c) Ta có: \(AD//BC \Rightarrow AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\).

Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot (SBC)\) hay \(d(A,(SBC)) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

Vậy \(d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

d) Trong mặt phẳng \((SAD)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SAD) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Vậy \(d(AB,SD) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai;   d) Đúng.  

a) Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC mà AB ^ BC nên BC ^ (SAB).

Suy ra d(C, (SAB)) = BC.

b) Theo câu a, BC ^ (SAB).

c) Hạ BH ^ AC mà SA ^ BH (do SA ^ (ABC)) Þ BH ^ (SAC).

Do đó d(B, (SAC)) = BH.

d) Vì BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai;   d) Đúng.  

Xét DMHO vuông tại H, có \(MH = OM.\sin 65^\circ = 3.\sin 65^\circ \approx 2,7\).

Vậy khoảng cách từ vị trí M đến mặt đất là khoảng 2,7 m.

Trả lời: 2,7.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB.

Do (SAB) ^ (ABC), (SAB) Ç (ABC) = AB, SH Ì (SAB) và SH ^ AB nên SH ^ (ABC).

Suy ra d(S, (ABC)) = SH.

Xét DSAB vuông tại S, có \(S{B^2} = A{B^2} - S{A^2} = {1^2} - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow SB = \frac{4}{5}\).

Suy ra d(S, (ABC)) = SH \( = \frac{{SA.SB}}{{AB}} = \frac{{\frac{3}{5}.\frac{4}{5}}}{1} = \frac{{12}}{{25}}\).

Suy ra a = 12; b = 25. Do đó a + b = 37.

Trả lời: 37.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên (ABB'A') // (CDD'C').

Suy ra d((ABB'A'), (CDD'C')) = d(A, (CDD'C')).

Gọi I là hình chiếu của A trên CD Þ AI ^ CD mà AI ^ DD' Þ AI ^ (CDD'C').

Do đó d(A, (CDD'C')) = AI.

Vì tam giác ACD đều cạnh 1 nên \(AI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(d\left( {\left( {ABB'A'} \right),\left( {CDD'C'} \right)} \right) = AI = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87\).

Trả lời: 0,87.

Vì BC // AD nên BC // (SAD).

Khi đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)).

Gọi H là hình chiếu của B trên SA.

Do (SAB) ^ (ABCD); (SAB) Ç (ABCD) = AB và DA ^ AB nên AD ^ (SAB). Suy ra  (SAD) ^ (SAB).

Mà (SAB) Ç (SAD) = SA và BH ^ SA nên BH ^ (SAD).

Xét DSAB đều cạnh 1 nên \(BH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,87\).

Trả lời: 0,87.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì AB // CD nên AB // (SCD).

Khi đó d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{CO}} = 2\).

Hạ OM ^ CD, OH ^ SM

Vì SO ^ (ABCD) Þ SO ^ CD mà OM ^ CD Þ CD ^ (SOM) Þ CD ^ OH.

Lại có OH ^ SM nên OH ^ (SCD). Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Ta có \(OM = \frac{1}{2}AD = 1\), \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow OC = \sqrt 2 \).

Xét DSOC vuông tại O, \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \).

Xét DSOM vuông tại O, \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{1} = \frac{7}{6}\)Þ \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{7}\).

Khi đó d(A, (SCD)) = \(2.\frac{{\sqrt {42} }}{7} \approx 1,9\).

Trả lời: 1,9.