10 bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ có lời giải
10 câu hỏi
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \)là:
90°;
60°;
45°;
30°.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB}\).
Dễ thấy \(AB \bot AD \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ \). Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Đáy là tam giác ABC vuông tại B. Khi đó góc giữa vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và vectơ \[\overrightarrow {B'C'} \] bằng bao nhiêu?
45°;
120°;
90°;
30°.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}\).
Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 3,\left| {\overrightarrow v } \right| = 4\) và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) bằng 60°. Tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng
12;
6;
−12;
−6.
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3.4.\cos 60^\circ = 6\).
Cho hình chóp S.ABC có AB = 4; \(\widehat {BAC} = 60^\circ ;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \) là
3;
6;
4;
−12.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}\)\( \Leftrightarrow 6 = 4.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ \)\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ \).
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 135^\circ \) trong đó E là điểm đối xứng với C' qua C.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 60^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 120^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 180^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm CD.
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \).
Do tam giác ACD đều nên \(AM \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Và tam giác BCD đều nên BM CD \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\). Xác định góc α giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
α = 30°;
α = 45°;
α = 60°;
α = 120°.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).
Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SB vuông góc với đáy và \(SB = a\sqrt 3 \). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
60°;
45°;
30°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Ta có
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Xét tam giác SBA vuông tại B ta có \(\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \).
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\)bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\);
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
C. Giả sử cạnh của tứ diện là a.
D. Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\).
A. Mặt khác \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
B. \( = AB.AM.\cos 30^\circ - AB.AD.\cos 60^\circ \)\( = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
C. Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng
\({a^2}\sqrt 2 \);
\({a^2}\);
\({a^2}\sqrt 3 \);
\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EH} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {a^2}\).
(vì \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)).
