10 bài tập Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau có lời giải
10 câu hỏi
Cho (O; 4) có dây AC bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (điểm C và A nằm cùng phía với BO). Tính số đo góc ACB.
30°.
45°.
60°.
15°.
Đáp án đúng là: D
Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên sđ = 90°.
BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp nên sđ = 120°.
Do đó, sđ = 120° − 90° = 30°.
Có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn cung AB nên .
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm (O), đường kính AM. Góc BAH bằng
góc AMC.
góc ABH.
góc ACM.
góc OCA.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[\widehat {ACM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ∆ABH và ∆AMC, có:
\[\widehat {ABH} = \widehat {AMC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\[\widehat {ACM} = \widehat {AHB} = 90^\circ \]
Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (g.g)
Suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\] hay \[\widehat {BAH} = \widehat {OAC}\].
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; 4). Biết rằng AC = 4 cm. Lấy D là điểm bất kì khác A, B, C trên đường tròn. Chọn khẳng định đúng.
\[\widehat {BDA} = 90^\circ \].
\[\widehat {BCA} = 30^\circ \].
\[\widehat {CDA} = 30^\circ \].
\[\widehat {CBA} = 60^\circ \].
Đáp án đúng là: C
Xét ∆AOC, có OA = OC = AC = 4 cm.
Suy ra tam giác AOC đều nên \[\widehat {OCA} = 60^\circ \].
Ta có: \[\widehat {OCA} = \widehat {BDA} = 60^\circ \] (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Xét ∆ABC vuông tại A, có: \[\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \] (hai góc phụ nhau)
Do đó, \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]
Lại có, \[\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 30^\circ \] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Vậy \[\widehat {CDA} = 30^\circ \].
Cho đường tròn như hình vẽ dưới đây. Biết rằng, CA = CD, \[\widehat {BDA} = 26^\circ ,\]\[\widehat {ACD} = 28^\circ \]. Số đo góc BAC là
90°.
80°.
50°.
100°.
Đáp án đúng là: C
Xét ∆ACD có AC = CD nên ∆ACD cân tại C.
Do đó, \[\widehat {DAC} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACD}}}{2} = \frac{{180^\circ - 28^\circ }}{2} = 76^\circ \].
Mà \[\widehat {CDB} + \widehat {BDA} = \widehat {ADC}\].
\[\widehat {CDB} + 26^\circ = 76^\circ \]
\[\widehat {CDB} = 76^\circ - 26^\circ = 50^\circ \].
Mà \[\widehat {CDB} = \widehat {BAC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
Do đó, \[\widehat {BAC} = 50^\circ \].
Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB // CD. Trên cung AB lấy điểm M. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\[\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\].
\[\widehat {AMB} = \widehat {CMD}.\]
\[\widehat {AMC} = \widehat {AMB}.\]
\[\widehat {BMA} = \widehat {BMD}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\widehat {AMC}\] là góc nội tiếp chắn cung AC, \[\widehat {BMD}\] là góc nội tiếp chắn cung BD.
Mà AB // CD nên . Do đó, \[\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\].
Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Lấy B ∈ (O) sao cho \[\widehat {ACB} = 70^\circ \]. Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ (O)). Số đo \[\widehat {CDB}\] là
20°.
30°.
10°.
40°.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[\widehat {ABC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Có BD ⊥ AC với AC là đường kính đường tròn (O) nên AC là đường trung trực của BD.
Do đó, \[\widehat {ACB} = \widehat {ACD} = 70^\circ \].
Suy ra \[\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {ACD} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \].
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến ABC và ADE với đường tròn đó (B nằm giữa A và C, D nằm giữa A và E). Kẻ dây BF // DE. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
\[\widehat {DBF} = \widehat {BCE}.\]
\[\widehat {BDC} = \widehat {BFC}.\]
\[\widehat {DBF} = \widehat {DCF}.\]
\[\widehat {DFB} = \widehat {FCD}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: và
Mặt khác DE // BF nên \[\widehat {EDF} = \widehat {BFD}\] (hai góc so le trong).
Mà \[\widehat {EDF}\] là góc nội tiếp chắn cung ; \[\widehat {DFB}\] là góc nội tiếp chắn cung .
Do đó, .
Ta lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có: \[\widehat {BDC} = \widehat {BFC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\[\widehat {DBF} = \widehat {DCF}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung DF)
Do đó, đáp án D sai.
Cho đường tròn (O) và điểm E nằm ngoài đường tròn. Vẽ cát tuyến EAB và ECD với đường tròn (A nằm giữa E và B, C nằm giữa E và D). Gọi F là một điểm trên đường tròn sao cho B nằm chính giữa cung DF, I là giao điểm của FA và BC. Biết \[\widehat E = 25^\circ \], số đo góc AIC là
20°.
50°.
25°.
30°.
Đáp án đúng là: C
Vì B nằm chính giữa cung DF nên sdDF⏜=sdBF⏜
Mặt khác góc tại E và I là hai góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên
E^=12sdBD⏜+sdAC⏜=12sdBF⏜−sdAC⏜=I^
Theo đề bài, ta có: \[\widehat E = \widehat I = 25^\circ \].
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\[\widehat {MFO} = 2\widehat {MBO}.\]
\[\widehat {MFO} = \frac{1}{2}\widehat {MBO}.\]
\[\widehat {MFO} = \widehat {MBO}.\]
\[\widehat {MFO} = 2\widehat {MOB}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[\widehat {MOA}\] là góc ở tâm chắn cung MA, \[\widehat {MBA}\] là góc nội tiếp chắn cung MA.
Do đó, \[\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}.\]
Vì EF là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ EF.
Ta có: \[\widehat {MOA} = \widehat {EFO}\] (cùng phụ với \[\widehat {FEO}\].
Suy ra \[\widehat {EFO} = 2\widehat {MBA}\] hay \[\widehat {MFO} = 2\widehat {MBO}.\]
Cho đường tròn (O) đường kính BC cố định. Điểm A di động trên đường tròn khác B và C. Vẽ đường kính AD. Khi A ở vị trí mà diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất thì góc ADC bằng
30°.
60°.
45°.
90°.
Đáp án đúng là: C
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = \[\frac{1}{2}BC.AH\].
Vì BC là đường kính nên BC cố định.
Suy ra diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất.
Xét tam giác AHO vuông tại H, có AH ≤ AO (AO là cạnh huyền)
Suy ra S∆ABC = \[\frac{1}{2}BC.AH\] ≤ \[\frac{1}{2}BC.AO = \frac{1}{2}2R.R = {R^2}\].
Dấu “=” xảy ra khi H ≡ O. Khi đó A là điểm chính giữa cung BC hay AD ⊥ BC.
Xét tam giác ACD có: \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Do đó, ∆ACD vuông cân tại C nên \[\widehat {CAD} = \widehat {CDA} = 45^\circ \].
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC và \[\widehat {CDA} = 45^\circ \].
