y = x3 + 3x (C). Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1; 4). Tính diện tích hình phẳng

Đáp án đúng là: A

Ta có: f '(x) = (x³ + 3x)' = 3x² + 3

f '(1) = 3.1² + 3 = 6

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm M₀ (x₀; y₀) ∈ (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ có dạng y = f'(x₀)(x − x₀)+ y₀

Vậy nên phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1; 4) là:

y = 6. (x − 1) + 4

Þ y = 6x − 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

x³ + 3x = 6x – 2 Û x³ – 3x + 2 = 0

Û (x³ – x) – (2x – 2) = 0

Û x(x – 1)(x + 1) – 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x² + x – 2) = 0

Û (x – 1)².(x + 2) = 0

Û x=−2x=1

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

x³ + 3x = 0 Û x=0x2=−3vl

Û x = 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục hoành là:

6x – 2 = 0 Û x = 13

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (d) và trục hoành là:

S = ∫013x3+3x + ∫131x3+3x−6x+2dx

S = ∫013x3+3x + ∫131x3−3x+2dx

=x44+32x2013+x44−32x2+2x131

=1344+32.132+144−32.12+2.1−1344+32.132−2.13

 

=181.4+32.19+14−32+2−181.4+32.19−23

=16+14−32+2+16−23

=512

Vậy ta chọn phương án A.