Xưởng Liên Hà định dùng hai loại hoa khô để chiết xuất ra 140 kg tinh dầu A và 9 kg tinh dầu B. Từ mỗi tấn hoa khô loại I giá 4 triệu đồng, có thể làm được 20 kg tinh dàu A và 0,6 kg tinh dầu

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số tấn hoa khô loại I và loại II (\(0 \le x \le 9\), \(0 \le y \le 10\)).

Khi đó, số tiền để mua hoa khô là: \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\).

Từ \(x\) tấn hoa khô loại I làm được \(20x\) kg tinh dầu \(A\) và \(0,6x\) kg tinh dầu \(B\).

Từ \(y\) tấn hoa khô loại II làm được \(10y\) kg tinh dầu \(A\) và \(1,5y\) kg tinh dầu \(B\).

Suy ra từ \(x\) tấn hoa khô lọai I và \(y\) tấn hoa khô loại II làm được \(20x + 10y\) kg tinh dầu \(A\), \(0,6x + 1,5y\) kg tinh dầu \(B\).

Do phải làm ít nhất 140 kg tinh dầu \(A\) và 9 kg tinh dầu \(B\), nên ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)(*)

Bài toán trở thành: Tìm \(\left( {x;y} \right)\) để \(F\left( {x;y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn hệ bất phương trình (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác \(ABCD\) (kể cả biên) với \(A\left( {5;4} \right)\), \(B\left( {9;\frac{{12}}{5}} \right)\),\(C\left( {9;10} \right)\), \(D\left( {2;\,\,10} \right)\).

Ta có:\(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của một trong các đỉnh.

Tính giá trị của \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh ta được:

Tại \(A\left( {5;4} \right)\): \(F\left( {5;4} \right) = 32\);

Tại \(B\left( {9;\frac{{12}}{5}} \right)\): \(F\left( {9;\,\,\frac{{12}}{5}} \right) = 43,2\);

Tại \(C\left( {9;10} \right)\): \(F\left( {9;\,\,10} \right) = 66\);

Tại \(D\left( {2;\,\,10} \right)\): \(F\left( {2;\,\,10} \right) = 38\).

Suy ra \(F\left( {x;y} \right)\) nhỏ nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;4} \right)\).

Như vậy để chi phí mua hoa khô ít nhất cần mua 5 tấn hoa khô loại I và 4 tấn hoa khô loại II.