Xưa kia có một vị tể tướng nổi tiếng thông thái. Đến khi tể tướng muốn cáo quan về quê, nhà vua liền ban thưởng bằng cách đưa cho tể tướng một đoạn dây dài 300 mét và nói:

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là \[x\] và \[y\] (\[0 < x < 150;\,\,0 < y < 150\]).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là \[300\] mét, suy ra \[x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Diện tích của mảnh đất là \[S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

⦁ Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi \(x > 0,\,\,y > 0.\)

Thật vậy, với mọi \(x > 0,\,\,y > 0,\) ta có:

 \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\]

    \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]

    \[{x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\]

    \[{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0\]

   \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].

Đẳng thức xảy ra khi \[x = y.\]

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Suy ra \[S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625\].

Dấu bằng xảy ra khi \[x = y = \frac{{150}}{2} = 75\] (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất \[S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] khi \[x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh \[75{\rm{ m}}\] để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.