Xét việc tính nguyên hàm I = ∫((2x + 1)^2)/(x^3))dx với x > 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

19/25

Xét việc tính nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}}dx} \) với x > 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

\(\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).

ĐúngSai

\(\int {\frac{4}{x}dx} = 4\ln x + C\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

ĐúngSai

\(\int {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = \frac{4}{x} + C\).

ĐúngSai

\(I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khai triển tử số và chia cho mẫu số ta được: \(\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).

b) Đúng. Vì \({\left( {4\ln x} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}\) (với x > 0).

c) Sai. Vì \({\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}\), nên một nguyên hàm của \(\frac{4}{{{x^2}}}\) phải là \( - \frac{4}{x}\).

d) Đúng. Kiểm tra bằng đạo hàm:

\({\left( {4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} - 4\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - \frac{1}{2}\left( { - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).

Do đó \(I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).