Xét việc tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/((sin^2)x)((cos ^2)x) trên khoảng (0; pi/2). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có biến đổi: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

b) Sai. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C. Do đó một nguyên hàm của g(x) phải là −cot x.

c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng:

\(\int f (x)dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\) = tan x − cot x + C.

d) Đúng. Khi F(x) = tan x − cot x + C,

thay x = \(\frac{\pi }{4}\) ta được \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = tan \(\frac{\pi }{4}\) − cot \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1 − 1 + C = C.

Do đó C = 2, suy ra F(x) = tan x − cot x + 2.