Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thắng d và d' lằn lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (2; - 1; - 3),\overrightarrow {{a_2}}  = (4;7;11)\).

Ta có \(\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}\) nên \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 4{t^\prime }}\\{y = 7{t^\prime }}\\{z =  - 1 + 11{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 4{t^\prime } = 2t}\\{7{t^\prime } = 1 - t}\\{ - 1 + 11{t^\prime } = 2 - 3t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{t^\prime } - 2t =  - 2}\\{7{t^\prime } + t = 1}\\{11{t^\prime } + 3t = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0}\\{t = 1}\\{11.0 + 3.1 = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra hệ có nghiệm duy nhắt.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (1;2;2),\overrightarrow {{a_2}}  = (3;2;9)\).

Ta có \(\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}\) do đó \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thắng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượ là:

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 + t = 2 + 3{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 2{t^\prime }}\\{1 + 2t = 1 + 9{t^\prime }}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 3{t^\prime } =  - 2}\\{2t - 2{t^\prime } = 0}\\{2t - 9{t^\prime } = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{{t^\prime } = 1}\\{2.1 - 9.1 = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) (vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.