Xét vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = $x\sqrt{x{}^2+1}$.

b) Đúng. $V={\displaystyle {\int }_0^{2}S\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_0^{2}x\sqrt{x{}^2+1}}dx$.

c) Đúng. Đặt u = x² + 1 du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 u = 1; x = 2 ⇒ u = 5.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích

$V={\displaystyle {\int }_0^{2}x\sqrt{x{}^2+1}}dx=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^5\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^{5}u{}^{\frac{1}{2}}}du=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u{}^{\frac{3}{2}}\right)|{}_1^5=\frac{1}{3}u\sqrt{u}|{}_1^5=\frac{5\sqrt{5}-1}{3}$