Xét vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có hai đ

17/25

Xét vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2) là một hình chữ nhật có hai độ dài cạnh lần lượt là x và \(\sqrt {{x^2} + 1} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Diện tích của thiết diện tại hoành độ x là S(x) = \({x^2} + 1\).

ĐúngSai

Thể tích của vật thể được tính bằng công thức V = \(\int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).

ĐúngSai

Có thể tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến số với u = x² + 1.

ĐúngSai

Thể tích của vật thể bằng \(\frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = \(x\sqrt {{x^2} + 1} \).

b) Đúng.\(V = \int_0^2 {S\left( x \right)dx} = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx\).

c) Đúng. Đặt u = x² + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = 2 => u = 5.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích

\(V = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \frac{1}{2}\int_1^5 {\sqrt u } du = \frac{1}{2}\int_1^5 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^5 = \left. {\frac{1}{3}u\sqrt u } \right|_1^5 = \frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}\)