Xét trên đoạn đường thẳng OA dài 30 km, cùng một lúc, ở A có một người đi xe đạp đi về O với vận tốc 15 km/h, đồng thời tại O có một chiếc khinh khí cầu
22/22
Xét trên đoạn đường thẳng \(OA\) dài \(30{\rm{\;km}}\), cùng một lúc, ở \(A\) có một người đi xe đạp đi về \(O\) với vận tốc \(15{\rm{\;km/h}}\), đồng thời tại \(O\) có một chiếc khinh khí cầu bay lên với vận tốc \(10{\rm{\;km/h}}\). Gọi \(t\) (đơn vị: giờ, \(t \ge 0\)) là thời gian kể từ lúc người đi xe đạp và khinh khí cầu bắt đầu di chuyển. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đi xe đạp và khinh khí cầu đạt được khi \(t\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chọn hệ trục tọa độ hai chiều phẳng \(Oxy\) với góc vuông tại \(O\):
- Vị trí điểm \(O\) là gốc tọa độ \(\left( {0;0} \right)\). Khinh khí cầu bay thẳng đứng từ \(O\) lên trên dọc theo trục \(Oy\) với vận tốc \(10{\rm{\;km/h}}\), vị trí sau thời gian \(t\) là \(M\left( {0;10t} \right)\).
- Vị trí điểm \(A\) nằm trên trục hoành cách \(O\) một khoảng \(30{\rm{\;km}} \Rightarrow A\left( {30;0} \right)\). Người đi xe đạp di chuyển từ \(A\) về \(O\) ngược chiều trục \(Ox\) với vận tốc \(15{\rm{\;km/h}}\), vị trí sau thời gian \(t\) là \(N\left( {30 - 15t;0} \right)\).
Khoảng cách giữa hai vật thể tại thời điểm \(t\) là độ dài đoạn thẳng \(MN\):
\(d\left( t \right) = \sqrt {{{\left( {30 - 15t - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 10t} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {30 - 15t} \right)}^2} + 100{t^2}} \)\( = \sqrt {325{t^2} - 900t + 900} \).
Khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức bậc hai dưới dấu căn đạt cực tiểu.
Hoành độ đỉnh của parabol \(f\left( t \right) = 325{t^2} - 900t + 900\) là: \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{900}}{{2 \cdot 325}} = \frac{{900}}{{650}} = \frac{{18}}{{13}} \approx 1,38\).
Vậy \(d\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(t \approx 1,38\) (giờ).
Đáp án: 1,38.