Xét tính tăng giảm của dãy số ( u n ) với u n = n − √ n^2 − 1 .

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1}  = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} - 1} \right)}}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)

Dễ dàng ta có: \(\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1}  > n + \sqrt {{n^2} - 1} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} }} < \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\)

Từ đó suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.