Xét tính tăng giảm của dãy số ( u n ) với u n = (n ^2 + n + 1)/( 2 n ^2 + 1) .

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{   }}\forall n \ge 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.