Xét tính tăng giảm của dãy số ( u n ) với u n = (3 n ^2 − 2 n + 1)/( n + 1) .

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): Với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)

Ta có: \({u_n} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}\)

Với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)\) \( = 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}\)

\( = 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0.{\rm{   }}\forall n \ge 1.\)

Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.