Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ. b) f(x)= x^2+2 khi x<=1 và 2/x+1 khi x>1

b) Ta có

•  limx→1+fx=limx→1+2x+1=21+1=3;

•  limx→1−fx=limx→1−x2+2=12+2=3.

Vì  limx→1+fx=3=limx→1−fx nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

 

• limx→1−fx−f1x−1=limx→1−x2+2x−3x−1

 =limx→1−x−1x+3x−1=limx→1−x+3=1+3=4.

•  limx→1+fx−f1x−1=limx→1+2x+1−3x−1

 =limx→1+2x−2x−1=limx→1+2−2xxx−1

 =limx→1+−2x=−21=−2.

Vì  limx→1−fx−f1x−1≠limx→1+fx−f1x−1 nên không tồn tại  limx→1fx−f1x−1.

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.