Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = { x^3 + x + 1 khi x ≥ 1; 2x + 4 khi x < 1 trên tập xác định của nó.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

Trên khoảng \(( - \infty ;1)\): \(f\left( x \right) = 2x + 4\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\)liên tục trên \(( - \infty ;1)\).

Trên khoảng \((1; + \infty )\): \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \((1; + \infty )\).

Tại điểm\({x_0} = 1\), ta có: \(f(1) = {1^3} + 1 + 1 = 3\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 4) = 6\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^3} + x + 1) = 3\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\). Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Tóm lại \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(( - \infty ;1)\)và \((1; + \infty )\) và gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1.\)