Xét tính đúng sai của những khẳng định dưới đây:

14/21

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{2025}}{{3 - x}}\), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = + \infty \).

ĐúngSai

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2025}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

ĐúngSai

Bạn An tính tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 9 và ra được kết quả là một số chính phương. Quan sát quá trình An tính toán, Khang mới bảo: “Cậu đã cộng một số tới tận hai lần, tổng này gồm 10 số chứ không phải 9 số”. Biết số mà An đã bị lặp lại khi tính là \(a\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a{n^2} + 11n + 2025}}{{2{n^2} + n - 2009}} = 4\).

ĐúngSai

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = a{n^2} + n - 1\) với \(a \in \mathbb{R}\). Nếu \(a = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).

ĐúngSai

Giải thích

a) SAI: Khi \(x \to {3^ + }\), ta có \(3 - x < 0\) và tử số \(2025 > 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = - \infty \).

b) SAI: Hàm số có mẫu bằng \(0\) tại \(x = 1\) và \(x = 3\). Điểm \(x = 1\) nằm trong khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) nên hàm số không liên tục trên toàn bộ khoảng này.

c) SAI: Tổng các số từ 1 đến 9 ban đầu là: \(1 + 2 + \ldots + 9 = \frac{{9 \cdot 10}}{2} = 45\).

Khi An cộng lặp lại số \(a\) (\(1 \le a \le 9\)), tổng mới là \(45 + a\). Theo đề bài, tổng mới thu được là một số chính phương. Trong các số từ \(45 + 1 = 46\) đến \(45 + 9 = 54\), chỉ có \(49 = {7^2}\) là số chính phương. Do đó \(45 + a = 49 \Rightarrow a = 4\).

Khi đó giới hạn trở thành: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} + 11n + 2025}}{{2{n^2} + n - 2009}} = \frac{4}{2} = 2 \ne 4\).

d) SAI: Nếu \(a = 1\) thì \({u_n} = {n^2} + n - 1\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^2} + n - 1} \right) = + \infty \ne 1\).