Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) SAI.

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) thuộc góc phần tư thứ III, tại đây cả \({\rm{sin}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) đều có giá trị âm:

\({\rm{sin}}\alpha  < 0,{\rm{cos}}\alpha  < 0\).

b) ĐÚNG.

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) (góc phần tư thứ II) nên \({\rm{cos}}\alpha  < 0\):

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Khai triển biểu thức:

\({\rm{cos}}\left( {\alpha  - \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}\alpha {\rm{cos}}\frac{\pi }{6} + {\rm{sin}}\alpha {\rm{sin}}\frac{\pi }{6}\)\( = \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( {\frac{1}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} =  - \frac{{2\sqrt 6 }}{6} + \frac{1}{6} = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{6}\).

Đồng nhất với biểu thức đề bài \(\frac{{1 - a\sqrt 6 }}{b}\), ta được \(a = 2\) và \(b = 6\) (thỏa mãn \(a,b \in \mathbb{N}\)).

Suy ra \(a + b = 2 + 6 = 8\).

c) SAI.

Ta có \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\). Do đó phương trình tương đương với:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{3x + \frac{\pi }{3}}&{ =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3}}&{ = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{3x}&{ =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x}&{ = \pi  + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ =  - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\x&{ = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) SAI.

Ta xét các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\):

Họ nghiệm thứ nhất: \(x =  - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} = \frac{{ - 2\pi  + 6k\pi }}{9}\)

\(0 < \frac{{ - 2\pi  + 6k\pi }}{9} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 <  - 2 + 6k < 4,5 \Leftrightarrow 2 < 6k < 6,5 \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{{6,5}}{6}\).

Với \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\). Suy ra có 1 nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{9}\).

Họ nghiệm thứ hai: \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\pi  + 2k\pi }}{3}\)

\(0 < \frac{{\pi  + 2k\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < 1 + 2k < 1,5 \Leftrightarrow  - 1 < 2k < 0,5 \Leftrightarrow  - 0,5 < k < 0,25\).

Với \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Suy ra có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm trên khoảng này, không phải 3 nghiệm.