Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
13/22
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \[\left[ {a;b} \right].\] Diện tích hình phẳng \(S\) giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường \(x = a,\) \(x = b\) \(\left( {a < b} \right)\) được xác định bởi công thức \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2^x},\) \(y = 0\) và các đường \(x = 0,\) \(x = 2.\) Khi đó ta có\(S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} .\)
Diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x,\] \[y = 2x\] và các đường \[x = - 1,\] \[x = 1\] được xác định bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right){\rm{d}}x} } .\]
Biết rằng đường parabol \[\left( P \right):{y^2} = 2x\] chia đường tròn \[\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 8\] thành hai phần lần lượt có diện tích là \[{S_1},\] \[{S_2}\] (hình bên). Khi đó \[{S_2} - {S_1} = a\pi - \frac{b}{c}\] với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] nguyên dương và \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản. Tổng \[a + b + c\] bằng \[15.\]
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} .\)
b) Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \) (do \({2^x} > 0,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)).
c) Phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} - x = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\x = \pm \sqrt 3 \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right..\] Do đó
\[S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3} - x - 2x} \right|{\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x - 2x} \right|{\rm{d}}x} } \]\[\mathop = \limits^{{\rm{xet dau}}} \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right){\rm{d}}x} } .\]
d) Diện tích hình tròn \[S = 8\pi .\]
Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( C \right)\] là
\[\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 2x\\{x^2} + {y^2} = 8\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + 2x = 8\end{array} \right. \leftrightarrow x = 2.\]
Suy ra \[{S_1} = 2.\left( {\int\limits_0^2 {\sqrt {2x} {\rm{d}}x + } \int\limits_2^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} {\rm{d}}x} } \right) = \frac{4}{3} + 2\pi .\]
Suy ra \[{S_2} = S - {S_1} = 6\pi - \frac{4}{3}\] Vậy \[a + b + c = 15.\]