Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Sai.

Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) nên mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tọa độ tâm là \(I\,\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).

b) Sai.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(R = 2\).

c) Đúng

Từ phương trình mặt cầu \(\left( C \right)\) ta có : \(a = 1,b =  - 2,c = 2,d =  - 25\) nên mặt cầu \(\left( C \right)\) có bán kính \({\rm{ }}R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + 25}  = \sqrt {34} \).

Suy ra \(R' > R\).

d) Sai.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Ta có \(d = d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
Khi đó ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).