Xét tính đúng/sai của các mệnh đề rút gọn biểu thức vận dụng hằng đẳng thức với a > 0, b > 0:

19/25

\(\frac{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} - {b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}}} = {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + {b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\).

ĐúngSai

\({a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)\) = a + b.

ĐúngSai

\(\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}}} = {a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}\).

ĐúngSai

\(\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đặt u = \({a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và v = \({b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\). Ta có:

\(\frac{{{u^2} - {v^2}}}{{u - v}} = \frac{{\left( {u - v} \right)\left( {u + v} \right)}}{{u - v}} = u + v = {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + {b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\).

b) Đúng. Đặt X = \({a^{\frac{1}{3}}}\) và Y = \({b^{\frac{1}{3}}}\), vế trái có dạng hằng đẳng thức:

(X + Y)(X² - XY + Y²) = X³ + Y³ = \({\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)^3} + {\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)^3}\) = a + b.

c) Sai. Ta có:

\(\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}\).

d) Đúng. Ta có:

\(\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) = {\left( {{a^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}\).