Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1;\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (1;0)\).

Vì vậy \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|1.1 + \sqrt 3  \cdot 0|}}{{\sqrt {1 + 3}  \cdot \sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 60^\circ \).

b) Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (2;2\sqrt 3 ),{\vec n_2} = (0;1)\).

Vì vậy \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2.0 + 2\sqrt 3  \cdot 1|}}{{\sqrt {4 + 12}  \cdot \sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ \).

c) \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = (2; - 3)\) nên có một vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (3;2)\);

\({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = (3;2)\).

Ta có: \(3.2 = 2.3\) nên hai vectơ pháp tuyến này cùng phương nhau.

Mặt khác điểm \(A(4;1) \in {d_1}\) và \(A \in {d_2}\). Vậy \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trùng nhau.

d) Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - 3)\), \({\vec n_2} = (1; - 3)\) với \(1.( - 3) =  - 3.1\) nên hai vectơ này cùng phương.

Mặt khác: \(A(0;1) \in {\Delta _1}\) mà \(A \notin {\Delta _2}\) nên hai đường thẳng này song song nhau.