Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a)y = (3x+1) / (x-2) b) y = (2x-1) / (3x+1) c) y = can (4 - x^2); d)y = x - lnx

a) \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ∈ D.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

Hàm số không có cực trị.

b) \(y = \frac{{2x - 5}}{{3x + 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{{ - 1}}{3}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{10}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ∈ D.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

c) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \)

Tập xác định: D = [−2; 2].

Ta có: y' = \(\frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)⇔ y' = 0 ⇔ x = 0.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2.

d) \(y = x - \ln x\)

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có: y' = 1 – \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{{x - 1}}{x}\)⇔ y' = 0 ⇔ x = 1.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 1.