Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) y = −x^3 – 3x^2 + 24x – 1; b) y = x^3 – 8x^2 + 5x + 2; c) y = x^3 + 2x^2 + 3x + 1; d) y = −3x^3 + 3x^2 – x + 2.
a) y = −x3 – 3x2 + 24x – 1
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = −3x2 – 6x + 24 ⇔ y' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng (−4; 2).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −4) và (2; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 27.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −4, yCT = −81.
b) y = x3 – 8x2 + 5x + 2
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = 3x2 – 16x + 5 ⇔ y' = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = \(\frac{1}{3}\).
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và (5; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại x = \(\frac{1}{3}\), yCĐ = \(\frac{{76}}{{27}}\).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, yCT = −48.
c) y = x3 + 2x2 + 3x + 1
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = 3x2 + 4x + 3 = \(3{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{5}{3}\) > 0, với mọi x.
Do đó hàm số đồng biến trên (−∞; +∞).
Hàm số không có cực trị.
d) y = −3x3 + 3x2 – x + 2.
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = −9x2 + 6x – 1 = −(3x – 1)2 ≤ 0, với mọi x.
Do đó, hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞).
Hàm số không có cực trị.