Xét tính bị chặn của dãy số (un) có số hạng tổng quát un = căn(n + 2) - căn n

19/25

Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) có số hạng tổng quát \({u_n} = \sqrt {n + 2} - \sqrt n \).

Số hạng tổng quát u_n luôn nhận giá trị dương với mọi n ∈ ℕ^*, do đó dãy số bị chặn dưới bởi 0.

ĐúngSai

Có \({u_n} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}\).

ĐúngSai

Dãy số không bị chặn trên.

ĐúngSai

Giá trị chặn trên lớn nhất của dãy số đạt được tại số hạng đầu tiên \({u_1} = \sqrt 3 - 1\).

ĐúngSai

Giải thích

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì \(n + 2 > n \Rightarrow \sqrt {n + 2} > \sqrt n \Rightarrow {u_n} > 0\).

b) Đúng. \({u_n} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}\).

c) Sai. Khi mẫu số lớn vô hạn thì dãy số u_n giảm dần về 0, điều này chứng tỏ u_n luôn nhỏ hơn số hạng đầu tiên u₁. Dãy số có bị chặn trên.

d) Đúng. Do mẫu số tăng dần nên phân số u_n giảm dần (dãy giảm). Vậy giá trị chặn trênlớn nhất đạt được tại \({u_1} = \sqrt 3 - 1\).