Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng.

14/25

Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) biết số hạng tổng quát là \({u_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{n^2} + 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng.

Dãy số bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1.

Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi \( - \frac{1}{3}\).

Dãy số bị chặn trong đoạn \(\left[ { - \frac{1}{3};\frac{1}{6}} \right]\).

Dãy số không bị chặn vì có yếu tố đan dấu (−1)ⁿ.

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Nếu n chẵn: \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 2 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 6 \Rightarrow 0 < {u_n} \le \frac{1}{6}\).

Nếu n lẻ: \({u_n} = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Vì \(n \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 3 \Rightarrow - \frac{1}{3} \le {u_n} < 0\).

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: \( - \frac{1}{3} \le {u_n} \le \frac{1}{6},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Dãy số bị chặn trong đoạn này.