Xét tính bị chặn của dãy số ( u n ) biết u n = 1 2 + 1/ 2^2 + 1 /3^2 + ⋯ + 1/ n^2 .

Xét \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k},\,\,\forall k \ge 2\).

Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}\]

\[ < \frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}.\]

\( \Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.