Xét tích phân I = 0 ∫ ^2 |(2^x) - 2| dx. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Ta xét bất phương trình 2^x − 2 ≥ 0 Û 2^x ≥ 2 Û x ≥ 1.

b) Sai. Công thức tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x là F(x) = \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\). Đạo hàm của hàm số f(x) = 2^x mới là \(f'(x) = {2^x} \cdot \ln 2\).

c) Đúng. Trên đoạn [0; 1], ta có x ≤ 1 nên 2^x − 2 ≤ 0, suy ra |2^x − 2| = 2 − 2^x.

Khi đó, ta có:\(\int_0^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {2 - \frac{2}{{\ln 2}}} \right) - \left( {0 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 2 - \frac{1}{{\ln 2}}\).

d) Sai. Trên đoạn [1; 2], ta có x ≥ 1 nên 2^x − 2 ≥ 0, suy ra |2^x − 2| = 2^x − 2.

Ta tính tích phân trên đoạn [1; 2] như sau:

\(\int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \left( {\frac{4}{{\ln 2}} - 4} \right) - \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2\).

Tổng hợp hai kết quả, giá trị của tích phân I là:

\(I = \int_0^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \left( {2 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) + \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\).

Vậy giá trị của tích phân I khác 1.