Xét tất cả các số thực x, y sao cho

Đáp án đúng là "-15"

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\).

Ta có: \({27^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{a^3}}} \Leftrightarrow {3^{3\left( {5 - {y^2}} \right)}} \ge {a^{6x - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a}} \Leftrightarrow 3\left( {5 - {y^2}} \right) \ge \left( {6x - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\)

\( \Leftrightarrow 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}^2a - 6x{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a - 3{y^2} + 15 \ge 0,{\rm{\;}}\forall a > 0\) (1)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a\), ta có \(t \in \mathbb{R},\forall a > 0\).

Do đó: (1) \( \Leftrightarrow 3{t^2} - 6xt - 3{y^2} + 15 \ge 0,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} = 9{x^2} + 9{y^2} - 45 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 5 \le 0{\rm{\;}}\) (2).

Từ (2)suy ra điểm \(M\) thuộc hình tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Viết lại \(P = {x^2} + {y^2} - 4x + 8y = {(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} - 20 = A{M^2} - 20\), trong đó \(A\left( {2; - 4} \right)\).

Từ hình vẽ, ta có: \({P_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow A{M_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M \equiv B \Rightarrow A{M_{{\rm{min}}}} = OA - R = \sqrt 5  \Rightarrow {P_{{\rm{min}}}} =  - 15\)