Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R).

V1=13OP.S1=13OPπAC22=π3OP.PA2=π3OPOA2−OP2=π3OPR2−OP2V2=13OQ.S2=13OQπAB22=π3OQ.QA2=π3OQOA2−OQ2=π3OQR2−OQ2

Xét hàm fx=xR2−x2. Với 0≤x<R.

Khi đó f'x=R2−3x2.f'x=0⇔x=R3x=−R3.

Lập bảng biến thiên, thấy rằng maxx∈0;Rgx=fR3.

Khi đó, áp dụng choV1,V2 : V1+V2=π3OPR2−OP2+OQR2−OQ2 đạt giá trị lớn nhất khi OP=OQ=R3.

Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do OP =OQ).

Mà lúc đó AB=2R2−OQ2=2R2−R23=2R63.

Do tam giác ABC cân A nên khi đó AM⊥BC.

Ta có SABC=12AM.BC=AB.AC.BC4R⇒AM=AB.AC2R=4R2.692R=4R3.

MàAM=AO+OM⇒OM=4R3−R=R3 .

VậyV3=13OM.S3=13OM.π.MC2=π3OMR2−OM2=π3.R3R2−R29=8πR381