Xét sự tương giao giữa đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0\) và đường

17/22

Xét sự tương giao giữa đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x - y - 3 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm nếu có

Giải thích

\((C):{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0\).

(C) có tâm \(I\left( {\frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có \(d[I,\Delta ] = 0\).

Vậy \(\Delta \) đi qua tâm của \((C)\) và cắt \((C)\) tại 2 điểm phân biệt.

Tọa độ giao điểm \(\Delta \) của đi qua tâm của \((C)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 3 = 0}&{(1)}\\{{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0}&{(2)}\end{array}} \right.\)

Từ \((1) \Leftrightarrow y = x - 3\) thay vào \((2)\) ta được:

\({x^2} + {(x - 3)^2} - 7x - (x - 3) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 12 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y = - 2}\\{x = 6 \Rightarrow y = 3}\end{array}.} \right.\)

Vậy \(\Delta \) cắt \((C)\) tại hai điểm \(A(1; - 2)\) và \(A(6;3)\).