Xét sự biến thiên của hàm số y=căn(x^2−2x+2) trên khoảng (1;+ vô cùng).

Ta thấy:

\({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định với mọi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Với mọi \({x_1};{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} < {x_2}\) ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} - \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} \)

\( = \frac{{\left( {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} \right) - \left( {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{\left( {{x_1}^2 - 2{x_1} + 1} \right) - \left( {{x_2}^2 - 2{x_2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} - {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\)

\( = \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x_1}^2 - 2{x_1} + 2} + \sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 2} }}\) > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).