Xét sự biến thiên của các hàm số

❶ Hàm số xác định trên ℝ

Với mọi x,y∈ℝ,x≠y, lập tỉ lệ

A=f(x)−f(y)x−y=3x3−3y3x−y=3(x−y)(x2+xy+y2)x−y=x2+xy+y2

Do x2+xy+y2=x+y22+34y2>0∀x,y∈ℝ ( x, y không đồng thời bằng 0) nên A>0

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ

❷ Hàm số xác định trên ℝ

Với mọi x,y∈ℝ,x≠y, lập tỉ lệ

A=f(x)−f(y)x−y=x3−3x2+6x+1−y3−3y2+6y+1x−y=x−13+3x+2y−13+3y+2x−y=x−yx−12+(x−1)(y−1)+(y−1)2+3x−y=x−12+(x−1)(y−1)+(y−1)2+3

Do x−12+(x−1)(y−1)+(y−1)2+3=(x−1)+12(y−1)2+34(y−1)2+3>0∀x,y∈ℝ nên A>0.

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ

❸  Hàm số xác định trên ℝ

Với mọi x,y∈ℝ,x≠y, lập tỉ lệ

A=f(x)−f(y)x−y=x3+x+1−y3+y+1x−y=(x−y)(x2+xy+y2+1)x−y=x2+xy+y2+1>0

Vậy hàm số đồng biến trên ℝ

❹ Hàm số xác định trên ℝ

Với mọi x,y∈ℝ,x≠y, lập tỉ lệ

A=f(x)−f(y)x−y=x3+2x2+3x+1−y3+2y2+3y+1x−y=x+13−y+13−x2−y2x−y=x−yx+12+(x+1)(y+1)+(y+1)2+x+yx−y=x+12+(x+1)(y+1)+(y+1)2−(x+y)=x2+xy+y2+2x+2y+3=x+232+y+232+x+23y+23+53=x+23+12y+232+34y+232+53

Biểu thức cuối luôn dương với mọi x,y∈ℝ. Do đó hàm số đồng biến trên ℝ.