Xét phương trình: x^8 - ax^7 + bx^6 - 896x^5 + 1778x^4 - 373x^3 - 4176x^2 + 5760x - 2140 = 0. Biết phương trình trên có 8 nghiệm thực phân biệt

84/235

Xét phương trình: \[{x^8} - a{x^7} + b{x^6} - 896{x^5} + 1778{x^4} - 373{x^3} - 4176{x^2} + 5760x - 2140 = 0.\] Biết phương trình trên có \(8\) nghiệm thực phân biệt \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_8}\). Tính giá trị của biểu thức \[T = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{x_8}}}\]

(nhập đáp án vào ô trống, kết quả viết dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án: ________

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải:

Vận dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc cao.

Giải chi tiết:

Dễ thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Đặt \(t = \frac{1}{x}\;(t \ne 0)\), khi đó phương trình trở thành:

\[ - 2140{t^8} + 5760{t^7} - 4176{t^6} - 373{t^5} + 1778{t^4} - 896{t^3} + b{t^2} - at + 1 = 0\] (2)

Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1},{t_2}, \ldots ,{t_8}\).

Khi đó:

\[T = {t_1} + {t_2} + \cdots + {t_8}.\]

Theo định lý Vi-ét, hệ số của \({t^7}\) cho ta:

\[5760 = 2140({t_1} + {t_2} + \cdots + {t_8}) \Rightarrow T = \frac{{5760}}{{2140}} = \frac{{288}}{{107}}.\]