Xét phương trình lượng giác sin 3x = sin(2x + pi/4).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. \(\sin 3x = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \pi - \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.

b) Đúng. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) ứng với k = 0 là \(x = \frac{\pi }{4}\).

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) ứng với k = 0 là \(x = \frac{{3\pi }}{{20}}\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{{3\pi }}{{20}}\).

c) Đúng. Đối với họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \): Chỉ có duy nhất một giá trị \(k = 0\) cho nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} \in \left( {0;\pi } \right)\).

Đối với họ nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{5} = \frac{{3\pi + 8k\pi }}{{20}}\)

Có \(0 < \frac{{3\pi + 8k\pi }}{{20}} < \pi \Leftrightarrow 0 < 3 + 8k < 20 \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{{17}}{8}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \). Họ này đóng góp 3 nghiệm phân biệt là: \(\frac{{3\pi }}{{20}}\), \(\frac{{11\pi }}{{20}}\), và \(\frac{{19\pi }}{{20}}\).

Tổng số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; π) là 4 nghiệm.

d) Sai. Ta tính tổng của tất cả 4 nghiệm vừa tìm được ở ý c:

\(S = \frac{\pi }{4} + \left( {\frac{{3\pi }}{{20}} + \frac{{11\pi }}{{20}} + \frac{{19\pi }}{{20}}} \right)\)\( = \frac{{5\pi }}{{20}} + \frac{{33\pi }}{{20}} = \frac{{38\pi }}{{20}} = \frac{{19\pi }}{{10}}\).