Xét một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1. Biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Đường kính là $2\sqrt{1-x{}^2}$, do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = $\sqrt{1-x{}^2}$.

b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:

S(x) = $\frac{1}{2}\pi R{}^2(x)=\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)$.

c) Đúng. Ta có $S\left(-x\right)=\frac{\pi }{2}\left(1-\left(-x\right){}^2\right)=\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)=S\left(x\right)$, nên S(x) là hàm chẵn.

d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:

$V={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}S\left(x\right)}dx=2{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\pi }{2}\left(1-x{}^2\right)}dx=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\left(1-x{}^2\right)}dx=\pi \left(x-\frac{x{}^3}{3}\right)|{}_0^1=\pi \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$.