Xét một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1. Biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (- 1 ≤ x ≤ 1) là một hình bán nguyệt có đ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Đường kính là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \), do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = \(\sqrt {1 - {x^2}} \).

b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:

S(x) = \(\frac{1}{2}\pi {R^2}(x) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(S\left( { - x} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right) = S\left( x \right)\), nên S(x) là hàm chẵn.

d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:

\(V = \int_{ - 1}^1 {S\left( x \right)} dx = 2\int_0^1 {\frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \int_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\).