Xét một hệ trục tọa độ Oxyz được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một cục đá có dạng hình cầu được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2 = 6, cục
14/22
Xét một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) được cho sẵn, đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một cục đá có dạng hình cầu được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\), cục đá nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên cục đá, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\). Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với cục đá và \(I\) là tâm cục đá (hình vẽ minh họa). 
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 6 \).
Giả sử tại các điểm \(A\) và \(B\) trên cục đá có các khe hở nhỏ vừa đủ cho một con kiến lách qua. Một con kiến bò trên bề mặt ngoài của cục đá từ \(A\) đến \(B\) với tốc độ không đổi \(2\,{\rm{cm/s}}\), thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là \(21\) giây (làm tròn đến hàng đơn vị).
Nếu \(\cos \widehat {AIB}\) bằng \(\frac{a}{b}\) (phân số tối giản) thì giá trị \({a^2} + {b^2} = 82\).
Tâm \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
a) Sai
Từ phương trình mặt cầu, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MI} = \left( {4\,;\,0\,;\, - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = \left( { - 3\,;\, - 6\,;\, - 12} \right)\).
Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
b) Đúng
Để thời gian con kiến bò là ngắn nhất, quãng đường đi từ \(A\) đến \(B\) trên bề mặt cục đá phải là cung nhỏ \(AB\) của đường tròn lớn đi qua \(A\) và \(B\).
Bán kính đường tròn lớn là bán kính mặt cầu: \[R = \sqrt 6 \,{\rm{dm}} = 10\sqrt 6 \,{\rm{cm}}\].
Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\) tính bằng radian là; \(\alpha = \arccos \left( { - \frac{1}{9}} \right) \approx 1,682\) (rad).
Độ dài quãng đường ngắn nhất là độ dài cung \(AB\) là:
\(S = R\,.\,\alpha = 10\sqrt 6 \,.\,1,682 \approx 41,204{\rm{ (cm)}}\)
Thời gian ngắn nhất để con kiến hoàn thành chuyến đi là:
\(t = \frac{S}{v} = \frac{{41,204}}{2} \approx 21{\rm{ (gi\^a y)}}\).
c) Đúng
Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của mặt sàn và tấm ván.
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\) hay \(H \in d\).
Mà \(A\), \(B\) là các tiếp điểm của tấm ván và mặt sàn với mặt cầu.
\( \Rightarrow HA \bot IA\), \(HB \bot IB\).
Do đó, \(HA\), \(HB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(H\).
\( \Rightarrow \widehat {AIH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).
Ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).
\( \Rightarrow \cos \widehat {AIB} = \cos \left( {2\widehat {AIH}} \right) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 = 2\,.\,{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{9}\).
Vậy \(a = - 1\), \(b = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {9^2} = 82\).
d) Đúng