Xét một đa giác đều có 60 đỉnh. Có bao nhiêu đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều đã cho?

Đáp án: 78

Một đa giác đều có \(k\) đỉnh có thể được tạo thành từ các đỉnh của một đa giác đều \(n\) đỉnh nếu và chỉ nếu:

1.     \(k\) là ước số của \(n\) (\(n\) chia hết cho \(k\)).

2.     \(k \ge 3\) (vì đa giác phải có ít nhất 3 đỉnh).

Nếu \(k\) thỏa mãn các điều kiện trên, số lượng đa giác đều \(k\) đỉnh có thể tạo ra là: \(\frac{n}{k}\).

Tập hợp các ước số của 60 là: \(\{ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \).

Ta loại bỏ ước số 1 và 2 vì đa giác phải có từ 3 đỉnh trở lên.

Các giá trị \(k\) hợp lệ là: \(\{ 3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \).

Ta lấy 60 chia cho số đỉnh \(k\) để ra số lượng đa giác:

·        \(k = 3\) (Tam giác đều): \(\frac{{60}}{3} = 20\) hình.

·        \(k = 4\) (Hình vuông): \(\frac{{60}}{4} = 15\) hình.

·        \(k = 5\) (Ngũ giác đều): \(\frac{{60}}{5} = 12\) hình.

·        \(k = 6\) (Lục giác đều): \(\frac{{60}}{6} = 10\) hình.

·        \(k = 10\) (Thập giác đều): \(\frac{{60}}{{10}} = 6\) hình.

·        \(k = 12\) (Thập nhị giác đều): \(\frac{{60}}{{12}} = 5\) hình.

·        \(k = 15\): \(\frac{{60}}{{15}} = 4\) hình.

·        \(k = 20\): \(\frac{{60}}{{20}} = 3\) hình.

·        \(k = 30\): \(\frac{{60}}{{30}} = 2\) hình.

·        \(k = 60\) (Chính đa giác ban đầu): \(\frac{{60}}{{60}} = 1\) hình.

Tổng số đa giác đều là:\(20 + 15 + 12 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 78\).

Có tất cả 78 đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều 60 đỉnh đã cho.