Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $CD$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều

15/22

Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $CD$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều bằng $5$. Biết thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất có dạnh ${V_{\max }} = \frac{{x\sqrt y }}{4}$ ; $x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^*}$; $\left( {x;y} \right) = 1$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

$x + {y^2} - xy > 4550$.

ĐúngSai

$xy + 2x + y > 2550$.

ĐúngSai

${x^2} - xy + {y^2} < 5240$.

ĐúngSai

${x^3} - y > 19602$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

$Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $CD$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều (ảnh 1)$

Đặt $AB = a$.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$$ \Rightarrow CD \bot AM$,$CD \bot BM$$ \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right)$.

Khi đó ${V_{ABCD}} = {V_{ABMC}} + {V_{ABMD}}$$ = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CM + \frac{1}{3}{S_{ABM}}.DM$$ = \frac{1}{3}{S_{ABM}}.CD$.

Do $AM$là trung tuyến của tam giác $ACD$ nên:

$A{M^2} = \frac{{2\left( {A{C^2} + A{D^2}} \right) - C{D^2}}}{4}$$ = \frac{{2\left( {{5^2} + {5^2}} \right) - \left( {18 - {a^2}} \right)}}{4}$$ = \frac{{82 + {a^2}}}{4}$.

Tam giác $ABM$ cân tại $M$( vì $AM = BM$) nên:

${S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.\sqrt {A{M^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} $$ = \frac{1}{2}.a.\sqrt {\frac{{82}}{4}} $$ = \frac{{a\sqrt {82} }}{4}$.

${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {82} }}{4}.\sqrt {18 - {a^2}} $$ = \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\sqrt {{a^2}\left( {18 - {a^2}} \right)} $$ \le \frac{{\sqrt {82} }}{{12}}.\frac{{{a^2} + 18 - {a^2}}}{2}$$ = \frac{{3\sqrt {82} }}{4}$$ \Rightarrow x = 3,{\rm{ }}y = 82$.

Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải)- Đề 2

Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB\), \(CD\) thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} = 18\) và các cạnh còn lại đều