Xét khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = pi/2 quanh trục Ox. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

18/25

Xét khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, \(x = \frac{\pi }{2}\) quanh trục Ox. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Giao điểm duy nhất của đồ thị hàm số với trục hoành trên đoạn đang xét có hoành độ x = \(\frac{\pi }{2}\).

ĐúngSai

Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức V = \(\pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx\).

ĐúngSai

Để tính thể tích, ta có thể sử dụng công thức lượng giác hạ bậc \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

ĐúngSai

Giá trị thể tích của khối tròn xoay bằng \(\frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình \(\cos x = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), ta thu được nghiệm duy nhất x = \(\frac{\pi }{2}\).

b) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay phải chứa bình phương hàm số, tức là \(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx\).

c) Đúng. Công thức hạ bậc là phương pháp chuẩn để xử lý tích phân của bình phương hàm lượng giác.

d) Đúng.\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + 0} \right) - 0} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).